Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Sei h > 0 (der andere Fall geht analog). Nach Satz 8.13 mit g = 1 existiert ein
x h ∈ [x, x + h] mit
1
h
∫ x+h
x
f(t)dt = f(x h ) 1 h
∫ x+h
x
1 · dt = f(x h ).
Es konvergiert x h gegen x für h → 0, also ist F ′ (x) = f(x), da f stetig ist.
Definition 8.15. Eine solche Funktion F mit F ′ = f heißt Stammfunktion von f.
Korollar 8.16 (Hauptsatz der Differential-/Integralrechnung).
Ist f stetig und F eine Stammfunktion, so gilt
∫ b
a
f(x)dx = F (b) − F (a).
Je zwei Stammfunktionen unterscheiden sich um eine Konstante.
Beweis. Je zwei Stammfunktionen F, G unterscheiden sich um eine Konstante,
denn F ′ − G ′ = f − f = 0. Setze h(x) := ∫ x
f(u)du. Dann gilt a h′ (x) = f(x)
nach Satz 8.14. Also ist
F (b) − F (a) = h(b) − h(a) =
∫ b
a
f(u)du −
∫ a
a
f(u)du =
∫ b
a
f(u)du.
Notation 8.17.
∫ b
Unbestimmtes Integral:
a
f(x)dx = F (x)| b a := F (b) − F (a).
∫
f(x)dx = F (x) + C.
Das C kann man auch einfach weglassen.
∫ ∫ ∫
Beispiele 8.18. sin(x)dx = − cos(x), cos(x) = sin(x), dx
∫
= log(x),
x
√ dx
1−x 2
= arcsin(x), ∫ dx
= arctan(x) und ∫ exp(x)dx = exp(x).
1+x 2
Es gibt einen Algorithmus von Risch, der elementare Integrale wie diese und viele
andere lösen kann. Er wird in Computeralgebrasystemen verwendet.
Weitere nützliche Regeln:
88