Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 9.4. Sei D ⊆ C und f m eine gleichmäßig konvergente Folge von stetigen
Funktionen, die gegen f konvergiert. Dann ist f stetig.
Beweis. Sei ɛ > 0 und a ∈ D. Sei x n eine Folge, die gegen a konvergiert. Zu
zeigen ist: lim n→∞ f(x n ) = f(a) Wähle dazu ein m mit ||f m − f|| < ɛ/3. Da f m
stetig ist, gibt es ein n 0 mit |f m (x n ) − f m (a)| < ɛ/3 für alle n ≥ n 0 . Dann gilt für
alle n ≥ n 0 :
|f(a)−f(x n )| ≤ |f(a)−f m (a)|+|f m (a)−f m (x n )|+|f m (x n )−f(x n )| ≤ 3ɛ
3 = ɛ.
Bemerkung 9.5. Für die Eigenschaft differenzierbar gilt dieser Satz nicht mehr.
Als Beispiel kann man eine Folge von differenzierbaren Funktionen betrachten,
die von oben gegen die Funktion |x| konvergieren und symmetrisch unter x ↦→ −x
sind. Dann ist die Ableitung im Punkt Null immer 0, aber im Limes ist |x| nicht
differenzierbar. Man sieht in diesem Beispiel auch, dass die Ableitungen nicht
gleichmäßig konvergieren.
Man kann den Satz aber unter dieser Voraussetzung und etwas mehr retten:
Satz 9.6. Sei f m eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, die punktweise
gegen f konvergiert. Außerdem sollen die Ableitungen f ′ m gleichmäßig gegen eine
Funktion g konvergieren. Dann ist auch f differenzierbar und es gilt f ′ = g.
Man braucht folgendes
Lemma 9.7. Ist h m → h gleichmäßig konvergente Funktionenfolge von stetigen
Funktionen. Dann konvergiert auch ∫ b
h a m(x)dx gegen ∫ b
h(x)dx.
a
Beweis (Lemma). | ∫ b
a (h m(x) − h(x))dx| ≤ ||h m − h|| · (b − a).
Beweis von Satz 9.6. Nach Satz 9.4 gilt hier aber
Also ergibt das Lemma:
f m (x) = f m (a) +
∫ x
a
f ′ m(t)dt.
f(x) = f(a) +
∫ x
a
g(t)dt.
Nimmt man die Ableitung, so erhält man sofort f ′ = g.
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