Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beispiel 4.12. Sei q > 0. Die Folge a n = q n ist nach Satz 3.22(b) eine Nullfolge
für |q| < 1. Für q = 1 ist lim a n = 1 (konstante Folge). Für q = −1 oder |q| > 1
ist a n divergent nach Satz 3.22(a).
Satz 4.13 (Rechenregeln für Folgen).
Seien (a n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen. Dann konvergieren auch die Folgen
(a n ±b n ) und (a n·b n ) und es gilt lim(a n ±b n ) = lim a n ±lim b n sowie lim(a n·b n ) =
lim a n · lim b n .
Beweis. (i) (Summe/Differenz) Sei lim a n = a und lim b n = b. Sei ɛ > 0 gegeben.
Es gibt ein N 1 ∈ N mit |a n − a| < ɛ/2 für alle n ≥ N 1 und ein N 2 mit |b n − b| <
ɛ/2 für alle n ≥ N 2 . Setze N = max(N 1 , N 2 ). Dann gilt |(a n ± b n ) − (a ± b)| ≤
|a n − a| + |b n − b| < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ für alle n ≥ N.
(ii) (Produkt) Die Folge a n ist beschränkt nach Satz 4.9. Also gilt |a n | ≤ C für
alle n. Nach Vergrößerung von C kann man annehmen, dass auch |b| ≤ C gilt.
Sei ɛ > 0 gegeben. Es gibt ein N 1 ∈ N mit |a n − a| < ɛ/2C für alle n ≥ N 1 und
ein N 2 mit |b n − b| < ɛ/2C für alle n ≥ N 2 . Setze N = max(N 1 , N 2 ). Dann gilt
für alle n ≥ N:
|a n b n −ab| = |a n b n −a n b+a n b−ab| ≤ |a n (b n −b)|+|(a n −a)b| ≤ C ɛ + ɛ C =
2C 2C
ɛ.
Mit der selben Methode beweist man: lim(u · a n + v · b n ) = u · lim a n + v · lim b n ,
falls beide Folgen konvergieren. Bei Quotienten von Folgen muss man etwas mehr
aufpassen:
Satz 4.14.
Seien (a n ) und (b n ) zwei konvergente Folgen mit b := lim b n ≠ 0. Dann konvergiert
auch die Folge (a n /b n ) und es gilt lim(a n /b n ) = lim a n / lim b n . Beachte,
dass die Folge (a n /b n ) nicht definiert ist für die endlich vielen n mit b n = 0.
Beweis. Es gibt nur endlich viele n mit b n = 0, da lim b n ≠ 0. Wähle dazu ɛ = |b|,
um dies zu zeigen. Wir ignorieren daher dieses triviale Problem. Wegen Satz 4.13
genügt es, den Fall a n = 1 (konstante Folge) zu betrachten. Sei ɛ > 0 gegeben. Es
gibt ein N mit |b n − b| < ɛ|b| 2 /2 für alle n ≥ N wegen der Konvergenz von b n .
Sei N auch so groß, dass |b n | ≥ |b|/2 für alle n ≥ N. Damit gilt dann:
| 1
b n
− 1| = 1 1
|b b |b n | |b| n − b| < 2 · ɛ|b| 2 /2 = ɛ für alle n ≥ N.
|b| 2
Beispiele 4.15. • a n = 5n2 −7n+13
. Dann ist lim a 2n 2 +n+2 n
nach Satz 4.13 und Satz 4.14.
= lim 5−7/n+13/n2
2+1/n+2/n 2 = 5 2
• a n = n+2
n 2 −1 mit n ≥ 2. Dann ist lim a n = lim 1/n+2/n2
1−1/n 2 = 0 nach Satz 4.14
• Die Folge a n
divergent.
= n2 +2n−1
(n ≥ 4) ist divergent, denn a
n−3 n ≥ n2
n
35
= n ist