Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

9 Taylor- und Fourierreihen
Inhalt: Funktionenfolgen, Taylorreihen, Fourierreihen.
Hier sollen insbesondere Potenzreihendarstellungen wie für die Exponentialfunktion
untersucht werden:
∞∑ x n
exp(x) =
n! .
Man kann exp(x) als Folge der Polynome
f m (x) :=
auffassen. Für jedes x konvergiert dann f m (x) gegen f(x) für m → ∞ in C.
Definition 9.1.
Eine Folge (f m ) : D −→ C von Funktionen, definiert auf D ⊆ R oder C konvergiert
punktweise gegen eine Funktion f, falls für alle x ∈ D gilt:
n=0
m∑
n=0
x n
n!
lim f m(x) = f(x).
m→∞
Die Folge (f m ) konvergiert gleichmäßig, falls zu jedem ɛ > 0 ein m 0 ∈ N existiert,
so dass für alle m ≥ m 0 gilt:
|f(x) − f m (x)| < ɛ, ∀ x ∈ D.
Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge konvergiert natürlich punktweise,
aber nicht umgekehrt.
Beispiel 9.2. f m (x) := x m auf D = [0, 1]. Ist x < 1, so konvergiert x m gegen 0,
für m → ∞. Diese Folge konvergiert also punktweise gegen die Funktion f, die
Null auf [0, 1[ ist und f(1) = 1 erfüllt. Diese Konvergenz ist nicht gleichmäßig,
denn mit ɛ = 1/2 existiert kein m 0 , so dass |f(x) − f m (x)| < 1/2 für alle x ∈
[0, 1], da nahe bei 1 immer noch x < 1 existieren, deren Funktionswerte beliebig
nahe bei 1 sind.
Definition 9.3.
Zweckmäßigerweise definiert man für eine Funktion g die Supremumsnorm:
||g|| D := sup{|g(x)| : x ∈ D} ∈ R ∪ {∞}.
Dann kann man sagen: f m konvergiert gleichmäßig gegen f, falls die Normen
||f m − f|| D gegen 0 konvergieren.
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