Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass f(I) ebenfalls ein Intervall ist.
Daher ist f : I −→ f(I) surjektiv und injektiv (wegen strenger Monotonie). Also
existiert die Umkehrabbildung f −1 : f(I) −→ I. Es ist nur die Stetigkeit zu
zeigen, die strenge Monotonie folgt sofort. Ist y = f(x) und ɛ > 0 gegeben und
so klein, dass [x − ɛ, x + ɛ] ⊆ I ist. Dies geht immer, falls x kein Randpunkt von
I ist. Ist x ein Randpunkt, so betrachte stattdessen nur [x, x + ɛ] oder [x − ɛ, x].
Sei y 1 = f(x − ɛ) und y 2 = f(x + ɛ). Dann ist y 1 < y < y 2 und f bildet
[x − ɛ, x + ɛ] bijektiv auf [y 1 , y 2 ] ab (ebenfalls Zwischenwertsatz und Monotonie).
Setze δ := min(y − y 1 , y 2 − y). Es gilt dann f −1 (]y − δ, y + δ[) ⊆]x − ɛ, x + ɛ[.
Also ist f −1 stetig in y.
Korollar 6.20.
k√ x : R+ −→ R + und log : R >0 −→ R sind stetig und streng monoton wachsend.
Beweis. Es ist nur die strenge Monotonie zu zeigen, denn Stetigkeit der Potenz
und von exp wurde bereits vorher gezeigt. Die strenge Monotonie von x k folgt aus
dem Anordnungsaxiomen, die für exp folgt aus der Funktionalgleichung, denn ist
x < y, so ist exp(y −x) > 1 (folgt aus Reihenentwicklung exp(α) = 1+α+. . .),
und daher
exp(y) = exp(y − x) exp(x) > exp(x).
Definition 6.21.
Die allgemeine Potenzfunktion wird definiert als
a x := exp(x log(a)) : R −→ R
für a > 0 und x ∈ R. Der Logarithmus zur Basis a
log a (x) := log(x)
log(a)
ist die zugehörige Umkehrfunktion zu a x , falls a > 1 (dann ist a x streng monoton
wachsend für x ∈ R >0 ).
Die Stetigkeit von a x folgt aus:
Lemma 6.22. Die Komposition stetiger Abbildungen in beliebigen metrischen
Räumen ist wieder stetig.
Beweis. Folgt direkt aus der Definition oder einem Limesargument nach Satz 6.4.
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