Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

7 Differenzialrechnung
Inhalt: Differenzierbarkeit, Rechenregeln, Satz von Rolle, Mittelwertsatz, lokale
Extrema, Konvexität.
Definition 7.1.
Sei f : D −→ R eine reelle Funktion. f heißt differenzierbar in a ∈ D, falls der
Grenzwert
f ′ f(x) − f(a)
(a) := lim
x→a
x − a
x≠a
existiert. Dabei werden alle Folgen (x n ) durchlaufen mit x n ∈ D \ {a}, wobei
mindestens eine solche Folge existieren soll, die gegen a konvergiert. In der
Regel werden wir diese Definition nur anwenden, wenn D ein offenes Intervall
]a − ɛ, a + ɛ[ enthält, auch wenn die Definition allgemeiner Sinn macht. f heißt
differenzierbar in D, wenn dies für alle a ∈ D gilt.
Alternative Definition und Notation:
f ′ (a) = df (a) = lim
dx h→0
f(a + h) − f(a)
.
h
Dies war historisch die erste Definition mit infinitesimal klein gedachten Zahlen
h = dx.
Geometrische Anschauung: f(x)−f(a) ist die Steigung der Sekante an den Graphen
von f, die durch (a, f(a)) und (x, f(x)) geht. Im Limes x → a geht die
x−a
Sekante in die Tangente an (a, f(a)) über.
Beispiele 7.2. Differenzierbare Funktionen:
(1) f(x) = k konstante Funktion: Dann gilt f(x)−f(a) = 0, also f ′ (a) = 0 existiert
x−a
überall (Tangente waagerecht).
(2) f(x) = x identische Funktion: Dann gilt
f(x) − f(a)
x − a
= x − a
x − a = 1,
d.h. f ′ (a) = 1 existiert überall (Tangentensteigung 1).
(3) f(x) = αx + β Lineare Funktion: Dann gilt
f(x) − f(a)
x − a
=
α(x − a)
x − a
= α,
d.h. f ′ (a) = α existiert überall (Tangentensteigung α).
(4) f(x) = x n Potenz oder allgemeiner Polynome: Dann gilt
f(x + h) − f(x)
lim
h→0 h
= lim
h→0
(x + h) n − x n
h
69
= lim
h→0
h n + · · · + nx n−1 h
h
= nx n−1 .