Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 87. Bestimmen Sie
{z ∈ C :
z − 3
∣z + 3∣ ≤ 2}
und skizzieren Sie diese Menge in der Gaußschen Zahlenebene.
Aufgabe 88. Beweisen Sie, daß für alle komplexen Zahlen a, b gilt:
|a + b| 2 + |a − b| 2 = 2|a| 2 + 2|b| 2 .
Aufgabe 89. Zeigen Sie: Für a, b ∈ C mit Re(ab) = 0 gilt
Aufgabe 90. Zeigen Sie, dass durch
|a + b| 2 = |a| 2 + |b| 2 .
d(a, b) :=
eine Metrik auf R definiert wird.
{ 1 falls a ≠ b
0 falls a = b
Aufgabe 91. Zeigen Sie, falls d(a, b) eine Metrik auf R, dann ist auch
eine Metrik auf R.
d 1 (a, b) :=
d(a, b)
1 + d(a, b)
Aufgabe 92. Lösen Sie folgende Gleichungen in C:
3z 4 + 7z 2 + 2 = 0, (3 − 4i)z = 5, iz − 1
iz = 4.
Aufgabe 93. Es sei n ∈ N und a eine positive reelle Zahl. Geben Sie alle Lösungen
der Gleichung
z n − a = 0
an und skizzieren Sie deren Lage in der Gaußschen Zahlenebene im Falls n = 5
für verschiedene a ∈ R.
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