Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Der Fall x = 1 ist etwas schwieriger:
Lemma 9.21. Sei f eine stetige Funktion auf [0, 1], die für x < 1 mit ihrer Taylorreihe
T f,0 (x) = ∑ ∞
n=0 (−1)n a n x n übereinstimmt, wobei a n ≥ 0 eine monoton
fallende Nullfolge ist. Dann gilt f(1) = ∑ ∞
n=0 (−1)n a n .
Beweis.
∑
Nach dem Beweis des Leibnizkriteriums gilt in beiden Fällen mit T f,0 (x) =
n (−1)n a n x n
∣ ∣ ∣∣∣∣ N∑ ∣∣∣∣
f(x) − (−1) n a n x n ≤ a N x N
n
für |x| < 1 und die rechte Seite ist eine Nullfolge auch für x = 1. Hieraus folgt
aus der Stetigkeit von f bei x = 1 sofort, dass auch f(1) = ∑ n (−1)n a n gilt.
Korollar 9.22.
Für x = 1 gilt
log(2) = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − . . .
sowie
π
4 = arctan(1) = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − . . .
Alternativ kann man auch folgenden Satz benutzen:
Satz 9.23 (Abelscher Grenzwertsatz).
Ist die Reihe ∑ a n konvergent (nicht notwendig absolut), so konvergiert auch die
Potenzreihe
∑
an x n
gleichmäßig auf [0, 1] und ist dort eine stetige Funktion.
Beweis. [Forster, Seite 238].
Die Binomische Reihe
Für α ∈ R definiere
(α )
:=
n
α · (α − 1) · . . . (α − n + 1)
.
1 · 2 · . . . · n
Satz 9.24.
Die Taylorreihe der Funktion f(x) = (1+x) α hat Konvergenzradius 1 und stimmt
für |x| < 1 mit
∞∑
( α
x
n)
n
überein.
n=0
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