Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 6.10 (Zwischenwertsatz).
Sei f : I = [a, b] → R stetig. Dann ist auch f(I) ein Intervall. Insbesondere wird
jeder Zwischenwert von f angenommen.
Bemerkung 6.11. Dieser Satz gilt auch etwas allgemeiner, falls a, b auch −∞
oder ∞ sind. Ein Intervall I ist dann nur durch die Forderung definiert: Sind
x < y < z und x, z ∈ I, dann muss auch y ∈ I sein.
Beweis. Betrachte statt f die Funktion
g(x) := ±(f(x) − c).
Sie ist ebenfalls stetig für alle c ∈ R und hat den gleichen Definitionsbereich. Wir
müssen also nur zeigen: Ist f : I = [a, b] → R stetig mit f(a) ≤ 0 und f(b) ≥ 0,
so gibt es ein x ∈ I mit f(x) = 0. Jetzt benutzt man Intervallschachtelungen: Sei
[a 0 , b 0 ] := [a, b]. Halbiere das Intervall mit Mittelpunkt x 0 . Ist f(x 0 ) ≤ 0, so setze
a 1 := x 0 und b 1 := b 0 . Ist dagegen f(x 0 ) > 0, so setze a 1 := a 0 und b 1 := x 0 .
Mit vollständiger Induktion erhält man somit eine Intervallschachtelung [a n , b n ]
mit |a n − b n | ≤ 2 −n |a − b|. Also gibt es genau ein
x ∈ ⋂ [a n , b n ]
mit x = lim a n = lim b n . Nach Satz 4.16 folgt auch f(x) = 0, da f(a n ) ≤ 0 und
f(b n ) ≥ 0 ist.
Beispiel 6.12. Jedes Polynom der Form
f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c
hat mindestens eine reelle Nullstelle, denn es gilt
f(x) = x 3 (1 + a/x + b/x 2 + c/x 3 ),
also ist f(x) < 0 für x 0 für x >> 0, denn dies gilt für x 3 . Aus
dem Zwischenwertsatz folgt dann die Behauptung.
Lemma 6.13. Die komplexe Exponentialfunktion
exp : C → C
ist stetig und surjektiv auf die Menge C ∗ := C \ {0}.
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