Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Vollständige Induktion. Induktionsanfang n = 1: (1 + x) 1 = 1 + x.
Induktionsschritt: (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x), also ist nach Induktionsvoraussetzung
(1 + x) n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, da
nx 2 ≥ 0.
Satz 3.22. Sei a > 0.
(a) Ist a > 1 und M ∈ R, so gibt es ein n ∈ N mit a n > M.
(b) Ist 0 < a < 1 und ɛ ∈ R >0 , so gibt es ein n ∈ N mit a n < ɛ.
Beweis. (a) Nach Satz 3.21 gilt a n = (1 + (a − 1)) n ≥ 1 + n(a − 1). Nach dem
Archimedischem Axiom (Ar) folgt aber n(a − 1) > M − 1 für ein n ∈ N. Also
gilt a n > 1 + (M − 1) = M.
(b) Betrachte 1 und M = 1 und benutze Fall (a).
a ɛ
Beispiel 3.23. ( 1 2 )n < 1
1000 für n ≥ 10, da 210 = 1024 > 1000.
Die reellen Zahlen
Die Menge R füllt die ,,Löcher” in den rationalen Zahlen Q auf. Dies wird in der
folgenden Konstruktion der reellen Zahlen durch die Dedekindschen Schnitte zum
Prinzip gemacht:
Idee: Angenommen wir wüssten schon was reelle Zahlen sind, so würden wir
einen Schnitt als die Menge der rationalen Zahlen
S(α 0 ) := {α ∈ Q | α > α 0 }
definieren, die rechts von α 0
gerade α 0 .
∈ R liegen. Solch ein Schnitt repräsentiert dann
Definition 3.24. Eine Teilmenge A ⊆ Q heißt Schnitt, falls gilt:
(i) A ≠ ∅, A ≠ Q.
(ii) α ∈ A und β ≥ α =⇒ β ∈ A.
(iii) A hat kein kleinstes Element, d.h. es gibt kein α 0 ∈ Q mit A = {α ∈ Q |
α ≥ α 0 }.
Beispiel 3.25. Ist α 0 ∈ Q, so setzen wir S(α 0 ) := {α ∈ Q | α > α 0 }. Dies ist
ein Schnitt, der eine rationale Zahl repräsentiert. Jedoch gibt es viele Schnitte in
Q, die nicht auf diese Weise entstehen, wie z.B. {α ∈ Q ≥0 | α 2 > 2}.
Definition 3.26. Die Menge der reellen Zahlen R wird definiert als die Menge
aller Dedekindschen Schnitte.
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