Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

El momento torsor se obtiene aplicando la ec. (1.39)
T = 2
∫ 3 ∫ 2
−3
−2
ˆϕ dy dx = 74,26
que puede compararse con el valor exacto T = 76,4. El valor de la tensión de corte máxima resulta
en |τ| = 3,02, mientras que el valor exacto es |τ| = 2,96.
De los ejemplos presentados destaquemos nuevamente que el método de Galerkin produce
(generalmente) sistemas de ecuaciones simétricos, a diferencia del método de colocación que da
matrices no simétricas. Cuando hay que resolver grandes sistemas este aspecto resulta de singular
importancia.
1.4.1.2. Ejercicios
Ejercicio N ◦ 4: a partir del Ejemplo N ◦ 1
a) Obtener la solución exacta de la ecuación diferencial planteada.
b) Completar los detalles en la obtención de las expresiones generales de k lm y f l . Verificar los
valores para el método de colocación y Galerkin. Para este último caso resulta útil recordar que
I lm =
∫ L
0
sin
( ) lπx
L
sin
( mπx
)
L
{ L
dx = 2
, l = m
0 l ≠ m
c) Obtener una aproximación utilizando M = 1.
d) Graficar la solución exacta y las aproximaciones obtenidas para M = 1 y 2 y los dos métodos
de residuos ponderados utilizados.
En una tabla comparar los valores de la solución exacta y las aproximaciones obtenidas (con
M = 2) en los puntos x = 1/3 y x = 2/3.
Ejercicio N ◦ 5: a partir del Ejemplo N ◦ 2
a) Verificar las expresiones de k lm y f l en las ec. (1.40).
b) Las curvas ϕ = cte tienen un significado importante en el problema que se trata ya que en
ellas el módulo de la tensión de corte
τ =
√
σ 2 zx + σ 2 zy =
√ (∂ϕ
∂y
) 2 (
+ − ∂ϕ ) 2
∂x
se mantiene constante y la dirección del vector resultante coincide con la tangente a dicha curva.
La tangente de la función ϕ = cte se obtiene de la derivada total de ϕ respecto a x
dϕ
dx = ∂ϕ
∂x + ∂ϕ
∂y
dy
dx = 0
Entonces
1) graficar las curvas resultante ϕ = cte que pasan por los puntos de abcisas: x = 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3
y ordenada y = 0.
2) Verificar que el valor de la tangente a la curva ϕ =cte. obtenida a partir de la anterior,
coincide con la pendiente que se obtiene como relación de las componentes de la tensión de corte
τ.
3) Obtenga el valor de la tensión de corte máxima haciendo pasar una parábola y encontrando
su máximo.
Ejercicio ( N ◦ 6: La distribución del momento flector M (x) en una viga cargada con w (x) =
πx
)
sin por unidad de longitud, satisface la ecuación
L
10
d 2 M
dx 2
= w(x)