Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Figura 1
Triángulo Maestro, y triángulo en el espacio coordenado físico
elementos tendrán como parámetros comunes las variables asociadas a sus nodos comunes
(los que definen geométricamente su contorno común) es necesario que el valor de la variable
u a lo largo de dicho contorno común sólo dependa de las variables asociadas a los nudos
que lo definen. En consecuencia la función de interpolación debe valer 0 no sólo en los otros
nudos (condición (a)) sino también a lo largo de el(los) lado(s) que no lo incluyan.
La condición (b) asegura que si el valor de la variable es constante en todo los nodos, entonces
es constante en todo el elemento. La condición (c) consecuencia de la anterior dice que, en
tal caso, el gradiente en todo el elemento será cero.
Además resulta conveniente que las funciones de aproximación sean capaces de representar
un estado de gradiente constante, que es el límite que debe alcanzarse cuando de refina la
discretización.
6.3. Elementos triangulares
Empecemos viendo el elemento más sencillo para problemas planos que es el triángulo lineal.
Definamos inicialmente un elemento maestro, en forma similar a como hicimos en el problema
unidimensional. En este caso el elemento maestro se define como un triángulo rectángulo con
el ángulo recto en el origen de coordenadas, lados paralelos a los ejes y de longitud unitaria.
Numeremos además sus vértices en la forma indicada, 1 de coordenadas (ξ = 1, η = 0), 2 de
coordenadas (ξ = 0, η = 1), y 3 de coordenadas (ξ = 0, η = 0)
En el elemento así definido llamemos ξ al eje horizontal y η al eje vertical. Observemos las
siguientes funciones lineales definidas sencillamente como:
L 1 (ξ, η) = ξ
L 2 (ξ, η) = η
L 3 (ξ, η) = 1 − ξ − η
Notemos que estas funciones satisfacen todas las condiciones pedidas anteriormente. La (a) resulta
inmediata de evaluar en los nudos, en tanto que para la (b) basta ver la definición de la 3ra.
función. Observemos además que el gradiente de la variable es constante para cualquier valor que
tomen las parámetros nodales.
Trataremos ahora de darle un significado geométrico a las funciones de forma L I , tomemos
un punto cualquiera “p” de coordenadas (ξ, η) dentro de elemento y unamos este punto con los 3
vértices lo que nos define 3 triángulos. Si observamos el triángulo inferior definido por el eje ξ y
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