Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

entonces
¯k ij = k ij + 1 ǫ a ia j
¯f i = f i − a i
ǫ ūk
El caso sencillo de un desplazamiento prescripto u k = ū k conduce a los siguientes cambios
¯k kk = k kk + 1 ǫ
¯f k = f k + ūk
ǫ
Notar que en este caso el sistema de ecuaciones se mantiene de orden n.
7.2.3. Método de multiplicadores de Lagrange
Una tercera posibilidad muy utilizada es la siguiente: agregar al sistema de ecuaciones inicial
la ecuación de restricción e incluir una nueva variable de forma de igualar número de ecuaciones
((n + 1) ahora) con el número de incógnitas. Para ello similarmente al caso anterior agreguemos
al funcional Π (u) un término de la forma:
luego el funcional aumentado es ahora
λ (ū k + a · u)
ˆΠ (u, λ) = 1 2 uT K u − u T f + λ (ū k + a · u)
La nueva variable incorporada λ se conoce en la literatura como “multiplicador de Lagrange”
ya que multiplica a la ecuación de restricción y muchas veces es posible asignarle una interpretación
física (por ejemplo es la reacción en el caso de un desplazamiento prescripto). El nuevo sistema de
ecuaciones resulta ahora de
∂ ˆΠ (u, λ)
∂u i
=
∂ ˆΠ (u, λ)
∂λ
n∑
k ij u j − f i + λa i = 0
j=1
= ū k +
n∑
a j u j = 0
La segunda ecuación no es otra cosa que la ecuación de restricción, por lo que la resolución del
sistema de ecuaciones la cumplirá en forma exacta. El sistema de ecuaciones sigue siendo simétrico,
el costo adicional proviene de que hay una ecuación más y que esta tiene un cero en la diagonal, lo
que puede en algunos casos puede traer problemas. El sistema resultante tiene entonces la siguiente
forma
⎡
⎢
⎣
K
a
a T 0
⎤ ⎡
j=1
⎥ ⎢
⎦ ⎣ u λ
⎤
⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
⎤
f
⎥
⎦
−ū k
7.3. Una aplicación no-estándar
En esta sección se mostrará como las ideas expresadas antes pueden utilizarse con diferentes
objetivos, obteniendo en forma consistente las modificaciones necesarias en la matriz de coeficientes
y el término independiente.
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