Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

En forma similar en el extremo opuesto tendremos las siguientes relaciones
ū 2 1 = u 2 1
ū 2 2 = u 2 2 − β2 e 2
¯β 2 = β 2
La matriz de transformación Λ resulta entonces
⎡
1
1 e 1
Λ =
1
⎢ 1
⎣
1 −e 2
Notar que en este caso Λ no es ya una simple matriz de rotación y de hecho su inversa no es
igual a su traspuesta.
7.4. Solución del sistema de ecuaciones
La matriz de coeficientes K de los sistema de ecuaciones resultantes (K x = f) en el método
de elementos finitos (en problemas autoadjuntos basados en la aproximación de Galerkin en el
método de residuos ponderados), normalmente goza de las siguientes propiedades:
1. Es simétrica k ij = k ji
2. Está bien condicionada, por lo que no requiere de cuidados especiales en la resolución.
3. Es definida positiva x T K x > 0 ∀x ≠ 0
4. Muchos de sus coeficientes son nulos, y los coeficientes no nulos forman una banda alrededor
de la diagonal
La resolución de este sistema de ecuaciones puede hacerse por métodos directos o iterativos
(gradientes conjugados). Los directos están basados en el algoritmo de Gauss, consistente en convertir
el sistema de ecuaciones a una forma triangular superior mediante operaciones de fila y una
posterior substitución hacia atrás. Los métodos iterativos tienen mayor competencia en problemas
tridimensionales con gran cantidad de coeficientes nulos (matrices ralas) y tienen la ventaja de que
no requieren la construcción de la matriz, lo que puede ser muy importante cuando no se dispone
de suficiente memoria. Los métodos directos tienen la ventaja de que permiten resolver con el
mismo esfuerzo computacional múltiples estados de carga y para el caso bidimensional resultan en
general más económicos. En los métodos directos resulta de particular importancia la numeración
de los grados de libertad del problema, pues esto afecta a la demanda de memoria necesaria para
almacenar la matriz K por un lado y por otro a la cantidad de operaciones necesaria para resolver
el sistema. Esto es importante cuando se resuelven sistemas con gran cantidad de grados de
libertad o problemas no-lineales, por ello existen algoritmos que optimizan la numeración de las
incógnitas a los fines de disminuir tanto la necesidad de almacenamiento como el tiempo necesario
para resolver el sistema. Estos algoritmos de optimización están presentes en la mayoría de los
códigos a este efecto y de tal forma que el usuario no tenga que preocuparse por como numerar
los nudos.
De los métodos directos el más utilizado es el de factorización que consiste en los siguiente:
1. Descomponer la matriz K en factores
K = L D U
1
⎤
⎥
⎦
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donde