Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Analicemos como pasar la matriz de rigidez de una viga espacial de su sistema local al sistema
global. Para realizar un cambio de coordenadas entre dos sistemas es posible observar (ver figura)
que las relaciones que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma
ū i = R u i
¯θ i = R θ i
donde la matriz rotación R es
R = [ t 1 t 3 t 3
]
Figura 1
Cambio de sistema en una viga
La matriz de transformación Λ resulta entonces de
⎡
ū 1 ⎤ ⎡
R
ū e = ⎢
¯θ 1
⎥
⎣ ū 2 ⎦ = ⎢ R
⎣ R
¯θ 2 R
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
u 1
θ 1
u 2
θ 2
⎥
⎦ = Λ ue
Las expresiones de cambio de la matriz de rigidez y el vector de términos independientes tienen
la forma vista antes, es decir:
K = Λ T ¯K Λ f = Λ T ¯f
Notar que la relación ū e = Λ u e puede verse como doce relaciones de restricción de los grados
de libertad en ū e en función de los grados de libertad en u e . La aplicación de la primera de las
metodologías explicadas para tratar restricciones conduce a las mismas expresiones obtenidas aquí.
Conceptualmente la misma idea puede aplicarse a otras condiciones o dependencias. Veamos
un ejemplo de características distintas. Sea la intersección ortogonal de un elemento de viga (horizontal)
con otros dos verticales (columnas), dentro de un pórtico plano
La discretización habitual supone a los elementos unidos en la intersección de sus respectivos
ejes baricéntricos. Obviamente esto no es así en la realidad. La utilización de la longitud de cada
elemento como la distancia entre los nudos conduce a que
1. se incluya más masa que la real al haber un solapamiento de los dominios (parte sombreada)
2. la viga resulte más flexible debido a que la longitud de cálculo L es mayor que la real.
Supongamos que la rigidez de las columnas es significativamente mayor que la de la viga, una
mejora en la formulación consiste en evaluar las rigideces de las columnas usando la distancia
entre nudos L y para las vigas usar como longitud de cálculo la distancia efectivamente libre
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