Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Se propone una aproximación de la forma
u ≃ û = ψ +
M∑
a m φ m (1.54)
en la que se han elegido a las funciones ψ y φ m para que se satisfagan las condiciones de borde
esenciales, es decir, ψ = u _ y φ m = 0, (m = 1, 2...M) en Γ u . El problema de residuos ponderados
correspondiente resulta
∫
Ω W l
[ ( ∂
k ∂û )
∂x ∂x
+ ∂ (
∂y
k ∂û
∂y
m=1
)]
_dx dy + ∫ Ω W l F dx dy+
+ ∫ (
__
Γ σ
W l k ∂û )
∂n + σ
_ dΓ + ∫ (
Γ c
˜W l k ∂û
)
∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0
l = 1, 2...M
(1.55)
que para M → ∞ asegura la satisfacción de la ecuación diferencial en Ω y de las condiciones de
borde naturales. La primer integral en la ec.(1.55) puede ser ”debilizada” utilizando el lema de
Green que establece las siguientes identidades para las funciones α y β
∫
α ∂β
Ω ∂x
∫Ω
dx dy = − ∂α
∂x
∫Γ
β dx dy + α β n x dΓ (1.56)
∫
Ω
α ∂β
∂y
∫Ω
dx dy = − ∂α
∂y
∫Γ
β dx dy + α β n y dΓ (1.57)
en la que n x y n y son los cosenos directores de la normal n (saliente) al contorno cerrado Γ que
rodea al dominio Ω en el plano x y. La integración sobre Γ se realiza en sentido antihorario.
Utilizando estas identidades y notando que
∂α
∂n = ∂α
∂x n x + ∂α
∂y n y (1.58)
la ec. (1.55) puede reescribirse
∫ ( ∂Wl
−
Ω ∂x k ∂û
∂x + ∂W l
∂y k ∂û ) ∫
_dx dy + W l F dx dy+
∂y
Ω
(
+ W l k
∫Γ ∂û )
(
__
dΓ + W l k
σ +Γ u +Γ c
∂n
∫Γ ∂û )
σ
∂n + σ
_ dΓ+
(
+ ˜W l k
∫Γ ∂û
)
c
∂n + p (u − u ∞) dΓ = 0 (1.59)
Limitando ahora la elección de las funciones de peso de tal modo que
W l = 0 en Γ u ;
__
W l = −W l en Γ σ ; y ˜W l = −W l en Γ c (1.60)
se observa que el término que contiene al gradiente de û desaparece y la ec.(1.59) queda
∫ ( ∂Wl
∂x k ∂û
∂x + ∂W l
∂y k ∂û ) ∫
dx dy − W l F dx dy+
∂y
16
Ω
Ω
∫
_
+ W l σdΓ + W l p (u − u ∞ ) dΓ = 0 (1.61)
∫Γ σ Γ c