Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

ambos miembros haciendo tender el punto a desde la izquierda de _ x y a b desde la derecha. Debido
a que f(x) es acotada, en el límite la integral desaparece y se obtiene
o
lím σ(b) − lím
b→ _ +
x a→ _ x
−
σ(a) = lím
∫ b
a→⃗x −
a
b→⃗x +
f (x) dx = 0
[ _ ]
σ( x) = lím σ(b) − lím σ(a) = 0 (3.5)
b→ _ +
x a→ _ −
x
donde [ σ( x) _ ] es el salto de σ en _ x. En consecuencia, la ec. (3.5) establece que si no hay discontinuidades,
el flujo resulta continuo en todos los puntos de los subdominios suaves Ω i , i = 1, 2, 3, 4.
3. A partir de que f(x) en la sec. (3.4) es continua, podemos aplicar el teorema del valor medio del
∫ b
cálculo integral f(x) dx = (b − a) f(ζ) siendo ζ un punto que pertenece al intervalo a < ζ < b
a
y f(ζ) es el promedio de f(x) sobre este intervalo. Entonces
σ(b) − σ(a) = (b − a) f(ζ)
Dividiendo por b − a y tomando límite por izquierda y derecha obtenemos
σ(b) − σ(a)
lím
a→⃗x − (b − a)
b→⃗x +
= lím
a→⃗x −
b→⃗x + f(ζ),
a < ζ < b
Debido a la continuidad de f(x) el límite del segundo miembro existe y por ende el izquierdo y en
consecuencia para todo punto interior de una región suave se cumple
dσ
dx
= f(x) (3.6)
La sustitución de la ecuación constitutiva (3.3) en la ec. (3.6) conduce una ecuación diferencial
lineal de segundo orden
− d [
k(x) du(x) ]
= f(x) (3.7)
dx dx
que en los puntos en los cuales el módulo del material k(x) es suave, (3.7) puede expandirse como
−k(x) d2 u(x)
dx 2
− dk(x) du(x)
dx dx
= f(x) (3.8)
ecuación que tiene la misma forma que la ec. (3.1).
4. Consideremos ahora puntos, como x = x 3 , en los que algunos datos son discontinuos pero
finitos. La discusión del punto 2 es todavía válida, y el principio de conservación del flujo conduce
al resultado
[σ(x 3 )] = 0
que muestra que el flujo es continuo aunque f(x) no lo sea. La consecuencia de la discontinuidad
de f(x) se refleja en el hecho de que el teorema del valor medio no puede ser aplicado en este
caso; ku ′ (el flujo) es continuo pero (ku ′ ) ′ (que definiría a f(x)) no existe por no existir el lí mite.
En consecuencia en el punto x = x 3 no tenemos ecuación diferencial. En el punto x = x 1 donde
f(x) es continua pero k(x) es discontinuo, el principio de conservación conduce nuevamente a la
condición (3.5), es decir, [σ(x 1 )] = 0. También se verifica la ecuación diferencial (3.6) pero como
k(x) no es continua, no posee derivada, y no se puede expandir la ec. (3.7) para obtener la (3.8)
en este punto.
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