Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

eferiremos como ” ley de conservación”. Estos resultados serán de aplicación a un amplio rango de
problemas prácticos que serán identificados asociando los coeficientes y funciones de la ec. (3.1) con
las variables físicas apropiadas al problema entre manos. Muchos problemas se formulan utilizando
dos variables: las variable de estado u y el flujo σ. Estas variables se relacionan entre si mediante
una ecuación constitutiva, que contiene una descripción del material en el cual se desarrolla el
proceso en estudio.
La ecuación constitutiva que describe el comportamiento para materiales lineales es de la forma
σ(x) = −k(x) du(x)
dx
(3.3)
en la que k(x) se conoce como módulo del material y es un dato del problema. Asumiremos que
k(x) es siempre positivo o negativo.
La ley de conservación es un enunciado que condiciona al flujo en el sentido de que para un
determinado subdominio el flujo neto que entra al subdominio es cero (es decir, el flujo se conserva).
El flujo puede estar presente en el sistema de dos formas: una a través de una distribución interna
de fuentes, descriptas por la función f (x), y otra a través del borde de la región. En la tabla3.1 se
muestran distintas interpretaciones de u, σ, k, y f para distintos problemas físicos.
A parte de la ley de conservación y de la ecuación constitutiva, aparecen condiciones sobre
la variable de estado u: en todos los problemas de interés se requiere que u(x) sea una función
continua de x. A esta condición, se le puede agregar que u(x) tome un valor determinado en uno
o ambos extremos. Esta condición se llama condición de borde esencial. Toda otra condición
en problemas de contorno, son derivables a partir del principio de conservación.
Para fijar ideas, consideremos un problema unidimensional que sea representativo de las condiciones
recién enunciadas. Sea por ejemplo una barra en el dominio [0, L] como se muestra en la
Fig. 1. El cuerpo esta formado por dos materiales, uno en el intervalo [0, x 1 ] y otro en el intervalo
[x 1 , L]. Si bien el módulo k sufre una discontinuidad en x 1 , se asume que es continuo en cada uno
de los subdominios.
Variable Módulo del Ecuación
Problema Principio de de estado Flujo material Fuente Constitutiva
físico conservación u σ k f σ = −ku ′
deformación
de una
barra
elástica
conducción
del calor en
una barra
flujo de un
fluido
equilibrio
de fuerzas
(conservación
de la
cantidad de
movimiento)
conservación
de la
energía
conservación
de la
cantidad de
movimiento
electrostática conservación
del flujo
eléctrico
flujo en
un medio
poroso
conservación
de la masa
Cuadro 3.1
desplazamiento tensión
temperatura
velocidad
potencial
eléctrico
carga
hidráulica
flujo de
calor
tensión de
corte
flujo
eléctrico
velocidad
del flujo
módulo de
elasticidad
de Young
conductividad
térmica
viscosidad
permisibidad
dieléctrica
fuerzas
másicas
fuentes de
calor
fuerzas
másicas
carga
permeabilidad fuente de
fluido
Valor de las constantes para distintos problemas físicos
ley de Hooke
ley de Fourier
ley de Stokes
ley de
Coulomb
ley de Darcy
38