Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

que puede minimizarse utilizando una función de peso
∫
∫ {
}
W R Ωi dx = W − [k u ,x ] ,x
+ c u ,x + b u − f dx
Ω i Ω i
que se puede integrar por partes
∫
Ω i
W R Ωi dx = − kW u ,x | x i
x i−1
+
Si u es solución del problema entonces
∫
∫
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx − W fdx (3.15)
Ω i Ω i
∫
W R Ωi dx = 0 y
Ω i
4∑
∫
i=1
Ω i
W R Ωi dx = 0 (3.16)
La sustitución de (3.15) en la ec. (3.16) resulta en
∫ L
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx + k (0) W (0) u ,x (0) +
0
+ [k (x 1 ) u ,x (x 1 )] W (x 1 ) + [k (x 2 ) u ,x (x 2 )] W (x 2 ) +
(3.17)
+ [k (x 3 ) u ,x (x 3 )] W (x 3 ) − k (L) W (L) u ,x (L) =
∫ L
0
W ¯fdx
en donde
[k (x i ) u ,x (x i )] = lím
x→x + i
k (x i ) u ,x (x i ) − lím
x→x − i
k (x i ) u ,x (x i )
La función ¯f que aparece en el segundo miembro es la parte suave (es decir la parte integrable) de
la función f. A partir de las condiciones impuestas en los puntos de discontinuidad, ec. (3.14), la
ec. (3.17) queda
∫ L
0
(kW ,x u ,x + cW u ,x + bW u) dx =
− k (0)
α 0
[γ 0 − β 0 u(0)] W (0) + k (L)
α L
∫ L
0
W ¯fdx + ˆfW (x 2 ) −
[γ L − β L u(L)] W (L)
(3.18)
válida para toda función W admisible.
La ec. (3.18) contiene la ecuación diferencial, las condiciones de salto y las condiciones de borde
especificadas en (3.14). El problema variacional (3.18) caracteriza a la solución como una función
definida sobre todo el dominio [0, L] a diferencia de la definición por partes en (3.14). Algunas
observaciones de la forma variacional (3.18) son
1. Al integrar por partes se obtiene una integral que contiene derivadas primeras de las funciones
de peso y de forma. Esto significa que las funciones u y W deben ser miembros de una clase de
funciones, denominada H 1 , cuyas derivadas primeras al cuadrado sean integrables sobre Ω, es decir
deben satisfacer la condición
L∫
[
(u,x ) 2 + u 2] dx < ∞ (3.19)
0
Por otro lado, si el problema posee condiciones de borde esenciales, entonces a parte de la condición
anterior, debe exigirse a las funciones de peso que satisfagan las condiciones W (0) = W (L) = 0.
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