Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

D Matriz diagonal (definida positiva en este caso)
{
dii > 0
d ij = 0 i ≠ j
L Matriz triangular inferior {
lii = 1
l ij = 0 i < j
U Matriz triangular superior {
uii = 1
u ij = 0 i > j
que para el caso de K simétrica resulta U = L T
2. Modificar el término independiente mediante una substitución hacia adelante
(LDU) x = f
(LD) (Ux) = f
(LD) y = f
en la última expresión el producto (LD) es una matriz triangular inferior y la obtención de
la variable intermedia y es inmediata mediante una substitución hacia adelante.
3. Resolver x mediante una substitución hacia atrás
Ux = y
En el caso que nos interesa ( U = L T ) el detalle de los pasos es el siguiente:
1-Descomposición en factores
k ij =
n∑
r=1
l ir
n∑
d rs u sj =
s=1
i∑
r=1
l ir
n∑
d rs u sj
los cambios en los límites de las sumatorias surgen de las características de L y U. Introduciendo
ahora el hecho que D es diagonal y la simetría de la matriz u sj = l js , tenemos
k ij =
mín(i,j)
∑
r=1
l ir d rr l jr
Veamos como calcular los coeficientes l ir y d rr . Para ello tomemos la parte inferior de K es
decir i ≥ j , la expresión anterior puede escribirse (l jj = 1)
j−1
∑
k ij = l ij d jj + l ir d } {{ rr }
r=1 g ir
luego separando los casos en que los índices son iguales y cuando no lo son
s=j
l jr
∑i−1
i = j k ii = d ii + g ir l ir
r=1
j−1
∑
i > j k ij = l ij d jj + g ir l jr
r=1
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