Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

los polinomios de interpolación indicados (φ 1 , ϕ 1 , φ 2 , ϕ 2 ) se conocen como polinomios de Hermite
de 1er. orden. Por ser cúbicos su forma general será
f = a + bξ + cξ 2 + dξ 3 ξ = 2x − (x2 + x 1 )
(x 2 − x 1 )
donde (x 1 , x 2 ) son las coordenadas de los nodos del elemento (ξ ∈ [−1, 1]).
Para obtener los coeficientes (a, b, c, d) recordemos que para que las incógnitas tengan el significado
físico deseado, exigíamos que las funciones de interpolación satisfagan:
f I ( x J) = δ IJ
{ u
(
x
J ) = u j
u′ s
(
x
J ) = u j′ s
En este caso al tener las derivadas como incógnitas resultan necesarias condiciones similares. Para
las funciones de forma asociadas al nudo 1, resultan las siguientes condiciones:
φ 1 (x 1 ) = 1 φ 1′ s (x 1 ) = φ 1 (x 2 ) = φ 1′ s (x 2 ) = 0
ϕ 1′ s (x1 ) = 1 ϕ 1 (x 1 ) = ϕ 1 (x 2 ) = ϕ 1′ s (x2 ) = 0
y otras similares para las funciones asociadas al nudo 2. Luego los coeficientes de la función φ 1 se
obtiene de resolver las siguientes ecuaciones (siendo φ 1′ s = ( b + 2cξ + 3dξ 2) 2/L)
φ 1 (ξ = −1) :
φ 1′ s (ξ = −1) :
φ 1 (ξ = 1) :
φ 1′ s (ξ = 1) :
a − b + c − a = 1 a =
2b
⎫⎪ 1 2
L − 4c
L + 6d L = 0 ⎬ b = − 3 4
a + b + c + d = 0 c = 0
2b
L + 4c
L + 6d L = 0 ⎪ ⎭
d = 1 4
similarmente se obtienen los coeficientes del resto de las funciones, que resultan
(
φ 1 = ) ( 1
4 2 − 3ξ + ξ
3
φ 2 = )
1 4 2 + 3ξ − ξ
3
ϕ 1 = 1 4
(
1 − ξ − ξ 2 + ξ 3) (
L
ϕ 2 = 1 2 4 −1 − ξ + ξ 2 + ξ 3) L
2
Notar sin embargo que la continuidad de la derivada no siempre es una ventaja y presenta
problemas precisamente en aquellos puntos donde esta es discontinua, por ej:
Si hay un cambio en las características del material (conductividad k), ya que en tal punto
si la derivada es continua el flujo no puede ser continuo
σ + = k + du
ds
≠ k−
du
ds = σ−
Cuando hay una fuente puntual q que implica una discontinuidad en el flujo
[
σ + − σ −] = q
4.2.1. Ejercicios
1. Plantear las condiciones necesarias para obtener los polinomios de Hermite de 1er orden y
resolverlos. Graficar las funciones de interpolación.
60
2. Usando esta aproximación cúbica, calcular la matriz de coeficientes del problema de conducción
del calor.