Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Reemplazando en la forma débil las expresiones anteriores para un elemento genérico,las integrales
necesarias son
⎡
⎤
∂φ
⎡ ⎤
v 1 T
∫
⎧⎪ 1 ∂φ 1
∂x 1 ∂x ∂φ 2 ∂φ 2
[ ] [ ]
∂φ
⎢
∂x 1 ∂x 2
k1 0
1 ∂φ 2 ∂φ
∂x
⎥
∂x 1
...
NN
∂x 1
u
⎣ ... ... ⎦ 0 k ∂φ 1 ∂φ 2 ∂φ 2 ⎢ v 2
⎨
∂φ
⎥
NN ∂φ NN
∂x 2 ∂x 2
...
NN e +
∂x 2
⎫⎪ ⎬
∂x
⎣ ... ⎦
1 ⎡ ∂x 2 ⎤
⎡ ⎤ dΩ e
v NN
Ω e φ 1
φ 1
b ⎢ φ 2
[
⎥
⎪
⎣ ... ⎦ φ 1 , φ 2 , ..., φ NN] u e − ⎢ φ 2
⎥
⎣ ... ⎦ f
⎩ ⎪ ⎭
φ NN
φ NN
Se ha sacado fuera de la integral al vector v e , cuyos valores no dependen de la integral, de la
misma forma puede hacerse con el vector u e . En la integral aparecen tres términos
1. Es el que resulta del producto punto de los gradientes (a través de la matriz de conductividad
k), que da lugar a una matriz cuadrada simétrica de orden NN que multiplica al vector de
incógnitas del elemento u e , es el término habitual que proviene del Laplaciano.
⎤
∫
K =
⎡
⎢
⎣
Ω e
∂φ 1 ∂φ 1
∂x 1 ∂x ∂φ 2 ∂φ 2
∂x 1 ∂x 2
... ...
∂φ NN
∂x 1
∂φ NN
∂x 2
[ ] [ ∂φ k1 0
1 ∂φ 2
∂x
⎥
∂x 1
...
⎦ 0 k ∂φ 1 ∂φ 2
2
∂x 2 ∂x 2
...
∂φ NN
]
∂x 1
∂x 2
2. Es el que resulta del producto bvu, este es un término “no estándar” en la ecuación de
Laplace. Da lugar también a una matriz cuadrada simétrica de orden NN que multiplica a
u e . Formalmente la expresión que tiene esta segunda matriz es igual a la matriz de masa que
aparece en problemas dependientes del tiempo
∫
M =
Ω e
b
⎡
⎢
⎣
φ 1
φ 2
...
φ NN
⎤
⎥
⎦
[
φ 1 , φ 2 , ..., φ NN] dΩ e
3. El último término no está asociado a las incógnitas u e , y forma parte del segundo miembro
(término independiente) del sistema de ecuaciones a resolver. Es un vector (columna) de
orden NN.
⎡
∫
φ 1 ⎤
− ⎢ φ 2
⎥
⎣
Ω e
... ⎦ f dΩ e
φ NN
La integral sobre el contorno se realiza sólo sobre aquellos elementos que efectivamente tienen
un lado sobre el contorno del dominio. El contorno ∂Ω a su vez se ha dividido en una parte donde
u es conocido (∂Ω u ) y otra parte donde el flujo σ es conocido (∂Ω σ ). En la primera parte al ser
conocido u, la función de peso v se anula, lo cual anula la integral en esta parte. En tanto que la
segunda parte se reemplaza el valor del flujo conocido, σ = − (k∇u)·ν de tal forma que la integral
resulta
∫
∫
− v (k∇u) · ν d∂Ω σ = v σ d∂Ω σ
∂Ω σ ∂Ω σ
En cada elemento que tenga una parte común con el contorno del dominio resulta necesario
realizar esta integral. Dado un elemento en estas condiciones la función de ponderación v, resulta
116
∂φ NN
dΩ e