Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Capítulo 5 Problemas de valores en el contorno
en 2 y 3 dimensiones
por F. Flores
5.1. Introducción
En el presente capítulo se presenta en forma resumida el conjunto de las ecuaciones de la
mecánica que es de interés resolver en este curso. En general sólo se presentan las ecuaciones más
relevantes y no se incluye su deducción, pues no es el objeto del curso y demandaría mucho espacio,
por lo cual aquellos interesados en su deducción deben dirigirse a textos específicos.
Existen diferentes problemas en la mecánica cuyo comportamiento puede representarse por la
ecuación de Helmholtz, que en su forma más sencilla conduce a la ecuación de Laplace. Este tipo
de problemas se expresa en función de una variable escalar, lo que permite una primera aplicación
del MEF, antes de abordar problemas donde la variable incógnita es vectorial.
5.2. Transferencia de calor
Recordemos primero el problema de transferencia de calor en 2 dimensiones. Definamos previamente
el operador ∇ (nabla)
∇ = ∂
∂x 1
t 1 +
∂
∂x 2
t 2 =
aplicado sobre una función escalar u (la temperatura en nuestro caso) se obtiene el gradiente
espacial de la misma
⎡ ⎤
∂u
∇u = ∂u t 1 + ∂u ⎢
t 2 = ⎣
∂x 1
⎥
∂x 1 ∂x 2
∂u ⎦
∂x 2
La derivada direccional de u en una dirección cualquiera ν = (ν 1 , ν 2 ) que escribiremos ∂u se calcula
∂ν
como
∂u
∂ν = ∇u · ν = ∇T u ν = ∂u ν 1 + ∂u ν 2
∂x 1 ∂x 2
donde se ha escrito el producto punto entre dos vectores como el producto matricial de un vector
fila (transpuesta del primer vector) y el segundo vector. La utilización de productos matriciales es
una forma muy conveniente para el desarrollo del método de elementos finitos.
Una segunda magnitud física de interés en nuestros problema de valores en el contorno es el
flujo σ. El flujo es una función vectorial o un campo vectorial lo mismo que el gradiente.
Sea Ω un dominio cerrado con un contorno suave ∂Ω con normal saliente n (s) en cada punto
de dicho contorno. El flujo que atraviesa el contorno en cada punto es:
⎡
⎢
⎣
∂
∂x 1
∂
∂x 2
⎤
⎥
⎦
σ n (s) = σ (s) · n (s) = σ T (s) n (s)
si se desea evaluar el flujo total (neto) que ingresa o egresa en un subdominio cualquiera ω ⊂ Ω
basta integrar sobre el contorno del subdominio ∂ω
∫
Σ ω = σ n d∂ω
∂ω
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