Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Llamando
Donde
Luego
Int(J) =
J∑
K=J−1
β K {
H KI = C KI + D KI
q K =
C KI =
D KI =
J∑
I=J−1
∫ x
J
∫ x
I
x I−1 ϕ K q dx
ϕ K ρu dϕI dx (4.15)
x dx J−1
∫ x
J
dϕ K
x dx ΓdϕI dx (4.16)
dx J−1
(C KI + D KI ) φ I − q K }
= [ β J−1 β ] {[ ] [ ]
J H J−1,J−1 H J−1,J φ
J−1
H J,J−1 H J,J φ J −
El resto de los términos (integrales sobre el contorno resultan)
Int (C) =
{
N∑ ∑ N ) L
[
β J −
(ϕ J Γ dϕI φ I + ϕ J L ¯σ −
dx
0
J=1
I=N−1
I=0
N∑
I=0
[
f
J−1
f J ]}
(
) ]}
ρuϕ I (x) − Γ dϕI (x)
φ I
dx
x=L
Debe notarse aquí que w(x = 0) = 0, además todas las ϕ J (x = L) = 0, salvo ϕ N (x = L) = 1,
luego { N
}
∑
N∑
β N −Γ dϕI
dx φI + ¯σ − ρuφ N + Γ dϕI L
dx φI = β {¯σ N − ρuφ N}
I=N−1
La integral de residuos ponderados (4.14) puede escribirse ahora
N∑
Int(J) + Int(C) = 0
N∑ [
β
J−1
J=1
J=1
β ] {[ ] [ ] [ ]}
J H J−1,J−1 H J−1,J φ
J−1 f
J−1
H J,J−1 H J,J φ J −
f J + β {¯σ N − ρuφ N} = 0
Esta expresión debe verse como un conjunto de N ecuaciones (una para cada β J ) con N
incógnitas (las φ I ). La matriz de coeficientes resulta de ensamblar las matrices “elementales” H.
A esta última contribuye también en la posición (N,N) el término del contorno −ρu. El vector
término independiente resulta de ensamblar los vectores “elementales” f, también contribuyen aquí
los términos asociados a la solución particular (la primera columna de la primera matriz elemental
H, multiplicada por φ 0 = ¯φ).
Esta aproximación corresponde a una de las posibilidades del método de Elementos Finitos.
La matriz H elemental consta de dos partes, C debida al término convectivo y es no-simétrica y D
debida al término difusivo que es simétrica. La aproximación de Galerkin es óptima para problemas
difusivos puros (problemas espacialmente elípticos) asociado a operadores auto-adjuntos (matrices
simétricas). Para problemas dominantemente convectivos se usan normalmente aproximaciones
diferentes.
Para la aproximación propuesta, la matriz elemental resulta
H = ρu 2
[ −1 1
−1 1
]
+ Γ ∆x
[ 1 −1
−1 1
]
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