Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

en la que u(0) = u 1 y u(L) = u N . Recordando la relación constitutiva (3.3) resultan las siguientes
[ ]
[ ]
γ0 − β
σ(0) = −k(0)
0 u(0)
γL − β
, σ(L) = −k(L)
L u(L)
α 0 α L
que reemplazadas en (3.43) modifican a este vector y a la matriz de rigidez (3.42) quedando
⎡
k11 1 − k(0)β ⎤
0
k12 1 0 . . . 0 0
α 0 k21 1 k22 1 + k11 2 k12 2 . . . 0 0
0 k21 2 k22 2 + k11 3 . . . 0 0
0 0 k21 3 . . . 0 0
· · · · · · ⎥
⎢
⎣
0 0 0 . . . k22 N−2 + k11 N−1 k12
N−1
0 0 0 · · · k N−1
21 k N−1
22 + k(L)β L
⎡
⎢
⎣
u 1
u 2
u 3
.
u N−1
u N
⎡
⎤
=
⎥
⎦
⎢
⎣
f1 1 − k(0)γ 0
α 0
f2 1 + f1
2
f2 2 + f1
3
.
f2 N−2 + f1
N−1
f N−1
2 + k(L)γ L
α L
⎤
⎥
⎦
α L
⎥
⎦
× (3.45)
(3.46)
sistema que puede resolverse para las N incógnitas u.
2. Condiciones esenciales o de Dirichlet: en este caso se especifican los valores de la incógnita
en los extremos
u(0) = γ 0
β 0
,
u(L) = γ L
β L
(3.47)
En este caso el número de incógnitas se reduce en dos, ya que u(0) = u 1 y u(L) = u N , lo que
permite reducir el sistema (3.42) en dos ecuaciones (la primera y la última). Los valores conocidos
(3.47) se reemplazan en la ecuaciones restantes quedando el siguiente sistema
⎡
⎢
⎣
k22 1 + k11 2 k12 2 . . . 0
k21 2 k22 2 + k3 11 . . . 0
0 k21 3 . . . 0
· · · ·
0 0 . . . k22 N−2 + k11
N−1
⎡
f
u
2 1 2
+ f 1 2 − γ 0
k1 21
β 0
u 3
⎥
. ⎦ = f2 2 + f 1
3
⎢
.
⎡ ⎤
⎢
⎣
u N−1
⎣
f2 N−2 + f1 N−1 − k12
N−1
γ L
β L
⎤
⎥
⎦ × (3.48)
⎤
⎥
⎦
(3.49)
de donde surgen las N − 2 incógnitas. A partir de esta solución y de las condiciones de borde
(3.47) se pueden determinar los valores del flujo en los extremos utilizando las ecuaciones 1 y N
eliminadas al imponer las condiciones de borde
k N−1
k11
1 γ 0
+ k12 1 β u 2 = f1 1 + σ (0)
0
γ L
21 u N−1 + k22
N−1 = f2 N−1 − σ (L)
β L
(3.50)
53