Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

4.3.3. Formulación a partir del Principio de Mínima Energía Potencial Total
La ventaja de utilizar este principio reside en la fuerte interpretación física de la formulación
resultante. En este aspecto resulta idéntica al método de Rayleigh-Ritz. Por otro lado desde un
punto de vista más general tiene el inconveniente de que requiere que exista un potencial expresado
en función de los desplazamientos. Este potencial no existe si hay disipación, por ejemplo cuando
el material no es elástico (y en consecuencia no se puede escribir la energía interna de deformación
en términos exclusivamente de los desplazamientos y se requiere conocer otras variables) o cuando
las cargas dependen de la configuración (cargas seguidoras), vínculos unilaterales, problemas de
contacto con y sin fricción.
En el presente problema la energía potencial total Π (u) se escribe para un material lineal
elástico
Π (u) = 1 2
∫
L
EI
Aplicando el principio de mínima tendremos:
∫
δΠ (u, δu) =
L
EI
( ) d 2 2 ∫
( L
u
dx − q(x)u dx −
dx ¯M du
2 L
dx)]
0
( ) ( )
d 2 u d 2 ∫
( )] L
δu
dδu
dx − q(x)δu dx − ¯M
dx 2 dx 2 L
dx
0
− ¯Qu ] L
0
− ¯Qδu ] L
0 = 0
Si comparamos esta expresión con el P.T.V. veremos que es la misma, la diferencia está en que
aquí δu representa la 1ra variación de los desplazamientos, pero que formalmente debe satisfacer
las mismas condiciones que un desplazamiento virtual, es decir ser un desplazamiento incremental
admisible.
4.4. Elemento de barra articulada
Los elementos estructurales de barras articuladas son los más sencillos. Son desde el punto de
vista espacial bi o tridimensionales. Sin embargo desde el punto de vista de la ecuación diferencial
que gobierna su comportamiento son undimensionales, en el sentido de que dependen de una única
coordenada espacial (la longitud de arco a lo largo de su eje).
Por otro lado, muchas veces resulta más sencillo calcular las matrices elementales de coeficientes
(matrices de rigidez) y los vectores elementales de términos independientes respecto a un sistema
coordenado local o en función de un conjunto de variables locales. Posteriormente, el ensamble de
la matriz y vector elemental deben llevarse a cabo sobre un sistema coordenado común (global) a
todos los elementos, lo que hace necesario referir matrices y vectores a este sistema global.
Consideremos entonces como determinar la matriz de rigidez de una barra de reticulado plano,
para lo cual utilizaremos el principio de trabajos virtuales, en particular la matriz de rigidez
provendrá del trabajo virtual interno, además como ejemplo mostraremos como ir introduciendo
aquí la notación que se usa habitualmente en el método de elementos finitos al considerar elementos
más complejos.
Si se define un sistema local (¯x 1 , ¯x 2 ) (con una barra encima de la variable representaremos
valores en el sistema local) en cada barra de forma que el eje de la barra coincida con la dirección
¯x 1 , es posible calcular la longitud de la barra y su orientación respecto al sistema global en función
de las coordenadas de los nudos
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L = [( x 2 − x 1) · (x 2 − x 1)] 1 2
[ (x )
2
= 1 − x 1 2 ( ] 1
1 + x
2
2 − x2) 1 2 2
cos α = (x2 1 − x1 1 )
L
Los desplazamientos se interpolan en forma lineal
sin α = (x2 2 − x1 2 )
L