Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

∂u
∂x 2
=
NN∑
I=1
[ ∂N
I
∂η (ξ, η) 2 b
Notemos que a diferencia del triángulo, en donde cuando se genera un elemento (cuadrático
por ejemplo) aparece la cantidad exacta de coeficientes necesarios para dicha aproximación (6 en
el caso cuadrático), para los elementos rectangulares aparece una cantidad de coeficientes (9 en
el caso cuadrático) mayor que el número indispensable, asociados con términos de orden superior
(x 2 1x 2 , x 2 1x 2 2, x 1 x 2 2). Además dado que en la matriz global de coeficientes, los parámetros asociados
a los nudos internos del elemento sólo tienen contribución del mismo elemento, muchas veces
suelen eliminarse estos grados de libertad por “condensación”. Estos considerandos han llevado a
desarrollar elementos cuadráticos de mayor orden con sólo nudos en el contorno, estos elementos se
conocen como “serendípitos” y se obtienen por inspección de las funciones de forma. Por ejemplo
el elemento rectangular de 8 nodos en el que se ha eliminado el nudo central del elemento de 9
nodos y con él el término x 2 1x 2 2, de forma que del triángulo de Pascal sobreviven los siguientes
1
x 1 x 2
x 2 1 x 1 x 2 x 2 2
x 2 1x 2 x 1 x 2 2
]
u I
La forma estándar de encontrar estas funciones de forma es escribirlas de la forma
N I (x 1 , x 2 ) = a 1 + a 2 x 1 + a 3 x 2 + a 4 x 2 1 + a 5x 1 x 2 + a 6 x 2 2 + a 7x 2 1 x 2 + a 8 x 1 x 2 2
e imponer las condiciones correspondientes de que N ( I x J) = δ IJ que conduce a invertir un sistema
de 8 × 8, que nos da simultáneamente los 8 coeficientes de cada una de las 8 funciones de forma.
La otra forma es armarlas directamente inspeccionando la forma que deberían tener (de allí su
nombre ‘serendipity’ en inglés). Estas funciones resultan de esta forma
(
N I (ξ, η) = 1 4 1 + ξ I ξ ) ( 1 + η I η ) ( ξ I ξ + η I η − 1 ) nudos esquina
(
N I (ξ, η) = 1 2 1 − ξ
2
1 + η I η ) nudos medios η = ±1
(
N I (ξ, η) = 1 2 1 + ξ I ξ ) (1 − η 2 ) nudos medios ξ = ±1
6.5. Mapeamiento de la geometría
Hasta ahora hemos considerado elementos con geometrías sencillas. En principio hemos definido
las funciones de forma a partir de elementos “maestros” definidos sobre un dominio normalizado.
En el caso del triángulo ha sido posible pasar fácilmente a un elemento triangular general de lados
rectos, en tanto que para el caso de elementos cuadriláteros nos hemos restringido a elementos
rectangulares. Desde el punto de vista práctico el elemento rectangular resulta muy limitado para
el modelado de geometrías reales, para lo cual si resulta conveniente el elemento triangular que
es mucho más versátil en ese aspecto, sin embargo en ambos casos debe aproximarse el contorno
mediante segmentos de recta.
Los inconvenientes anteriores pueden resolverse si se recurre a mapear al elemento “maestro”
sobre el plano x 1 − x 2 en una forma más general que la usada hasta ahora. La idea es interpolar la
geometría del elemento usando aproximaciones similares a las usadas para interpolar las variables
nodales, es decir si describimos la geometría del elemento mediante
x (ξ, η) =
NN∑
I=1
N I (ξ, η) x I
Haciendo uso del concepto ya conocido de las funciones de forma resulta que:
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