Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Figura 6 Elasticidad tridimensional Las ecuaciones anteriores desarrolladas para el problema tridimensional resultan: ⎡ ∂σ 11 + ∂σ 12 + ∂σ ⎤ 13 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂σ 21 ∇ · σ = + ∂σ 22 + ∂σ 23 = ∂σ ij t i = ∂σ ji t i ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x j ∂x j ⎢ ⎣ ∂σ 31 + ∂σ 32 + ∂σ ⎥ ⎦ 33 ∂x 3 ∂x 2 ∂x 3 ⎡ σ · n = σ T n = ⎢ ⎣ ∂σ ij ∂x j + ρ (b i − a i ) = 0 ⎤ σ 11 ν 1 + σ 12 ν 2 + σ 13 ν 3 σ 21 ν 1 + σ 22 ν 2 + σ 23 ν 3 ⎥ ⎦ = σ ijν j t i = σ ij ν i t j σ 31 ν 1 + σ 32 ν 2 + σ 33 ν 3 σ ij ν j = f i (∇u) ij = ∂u i ∂x j ε ij = (∇ s u) ij = 1 2 ( ∂uj + ∂u ) i ∂x i ∂x j Para un material isótropo, el tensor de elasticidad depende de sólo dos constantes y puede escribirse D =2µ I+λ 1 ⊗ 1 D ijkl = µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl E Eν µ = λ = 2 (1 + ν) (1 + ν) (1 − 2ν) donde µ y λ son los parámetros de Lamé, E es el módulo de elasticidad de Young y ν es la relación de Poisson. I es el tensor identidad de cuarto orden, 1 es el tensor identidad de segundo orden y ⊗ denota el producto tensorial σ ij = D ijkl ε kl = [µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl ] ε kl σ ij = 2µ ε ij + δ ij λ ε kk 97
5.9.2. Formulación débil usando residuos ponderados Apliquemos el método de residuos ponderados a la ecuación de equilibrio (5.10) con una función de ponderación w = (w 1 , w 2 , w 3 ) donde los w i son funciones independientes una de otra y ponderan cada componente de la ecuación de equilibrio ∫ Ω w· {∇ · σ + ρ (x) [b (x) − a (x)]} dΩ = 0 ∫ ∫ w· (∇ · σ) dΩ = − Ω Integremos por partes el primer miembro, para lo cual recordemos que: Ω ρ (x) w· [b (x) − a (x)] dΩ w · σ = w T σ = w i σ ij t j ∇ · (w · σ) = ∂ ∂x j (w i σ ij ) = ∂w i ∂σ ij σ ij + w i ∂x j ∂x j = ∇w : σ + w· (∇ · σ) la última expresión permite escribir el primer miembro del residuo como ∫ Ω ∫ w· (∇ · σ) dΩ = ∂Ω ∫ w·(σ · n) d∂Ω − ∇w : σ dΩ } {{ } Ω f(s) donde el operador “:” es el producto punto entre tensores de segundo orden, similar al de vectores (por ej.: σ : ε = σ ij ε ij = ∑ 3 ∑ 3 i=1 j=1 σ ij ε ij ). Notando además que debido a la simetría del tensor de tensiones ∇w : σ = ∇ s w : σ la integral ponderada del residuo puede escribirse: ∫ Ω ∫ ∇ s w : σ dΩ = Reemplazando la ecuación constitutiva tenemos: ∫ Ω ∫ ∇ s w : D : ∇ s u dΩ = Ω ∫ w·ρ (x) [b (x) − a (x)] dΩ + Ω ∂Ω ∫ w·ρ (x) [b (x) − a (x)] dΩ + w · f (s) d∂Ω ∂Ω w · f (s) d∂Ω Las condiciones sobre la solución u son: continuidad (compatibilidad), derivabilidad (∇u debe existir y poder ser calculado) y u = ū en ∂Ω u . Al usar Galerkin e integrar por partes, las condiciones sobre w resultan similares: continuidad y derivabilidad (∇w debe existir y poder ser calculado) y w = 0 en ∂Ω u . Esta última condición permite dividir la segunda integral del segundo miembro en dos partes, dividiendo el contorno en dos partes (∂Ω σ y ∂Ω u ) en la segunda parte la integral resulta entonces identicamente nula. Finalmente si llamamos ∫ Ω ∫ ¯ε ij D ijkl ε kl dΩ = Ω ¯ε = ∇ s w ∫ w i ρ (x) [b i (x) − a i (x)] dΩ + w i f i (s) d∂Ω s ∂Ω σ donde en el primer miembro se puede reemplazar el tensor D 98 ∫ Ω ∫ ¯ε ij D ijkl ε kl dΩ = Ω (2µ ¯ε ij ε ij + λ ¯ε kk ε ll ) dΩ
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