Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

el punto p (ξ, η), y calculamos su área (llamemos a esta área A 2 por ser la del triángulo opuesto
al nudo 2) vemos fácilmente que vale la altura del mismo dividido 2 pues el largo de la base vale
1, que no es otra cosa que A 2 = η/2. Si hacemos lo mismo con el formado por el eje η y el punto
p tendremos que el área (A 1 ) de este vale A 1 = ξ/2. Finalmente el triángulo restante tendrá por
área el valor A 3 = (1 − ξ − η) /2 lo que resulta de que el área total del triángulo (A) vale 1/2.
Vemos entonces que es posible asociar las funciones de forma L I con el doble del área del triángulo
definido por el punto p (ξ, η) y el lado opuesto al nudo, o puesto de otra forma la función de forma
L I define la relación entre el área del triángulo opuesto al nudo A I y el área total del triángulo A.
L I = A I /A
Si aplicamos esta misma idea a un triángulo cualquiera en el plano (x 1 − x 2 ), de coordenadas
nodales x 1 , x 2 y x 3 , podemos obtener el mismo resultado. Para ello recordemos que el área de un
triángulo puede evaluarse como la mitad del módulo del vector obtenido como el producto vectorial
de dos de sus lados. Por ejemplo para el área de todo el triángulo podemos usar como vectores los
definidos por los lados 31 y 32:
2A = 31 × 32 = ( x 1 − x 3) × ( x 2 − x 3) = ( ( ( ( )
x 1 1 − x1) 3 x
2
2 − x2) 3 − x
1
2 − x2) 3 x
2
1 − x 3 1
En tanto que para un punto genérico p (x), dos veces del área del triángulo 1 resulta entonces
2A 1 = p2 × p3 = ( x 2 − x ) × ( x 3 − x ) = ( x 2 1 − x 1
) ( x
3
2 − x 2
) −
( x
2
2 − x 2
) ( x
3
1 − x 1
)
y dividiendo ambas expresiones tenemos
L 1 = 1 [
x
2
2A 1 x 3 2 − x 2 2x 3 1 + ( )
x 2 2 − x 3 2 x1 + ( ]
x 3 1 − x1) 2 x2
que hemos escrito como una función lineal de las coordenadas del punto (x 1 , x 2 ). Similarmente (o
por permutación de índices) se pueden encontrar las expresiones para los otros dos nodos.
L 2 = 1 [
x
3
2A 1 x 1 2 − x3 2 x1 1 + ( x 3 2 − ) x1 2 x1 + ( x 1 1 − ]
1) x3 x2
L 3 = 1 [
x
1
2A 1 x 2 2 − x1 2 x2 1 + ( x 1 2 − ) x2 2 x1 + ( x 2 1 − ]
1) x1 x2
Llamando a las constantes que aparecen en las funciones de forma
a 1 = (x 3 1 − x2 1 ) b 1 = (x 2 2 − x3 2 ) c 1 = x 2 1 x3 2 − x2 2 x3 1
a 2 = (x 1 1 − x3 1 ) b 2 = (x 3 2 − x1 2 ) c 2 = x 3 1 x1 2 − x3 2 x1 1
a 3 = (x 2 1 − x 1 1) b 3 = (x 1 2 − x 2 2) c 3 = x 1 1x 2 2 − x 1 2x 2 1
éstas se pueden escribir como
L I = 1
2A [c I + b I x 1 + a I x 2 ]
Otros elementos triangulares incluyendo polinomios de mayor grado en x 1 y x 2 pueden construirse
fácilmente. Primero mostremos en forma tabular los términos que aparecen en los polinomios
de varios grados
1 grado 0
x 1 x 2 grado 1
x 2 1 x 1 x 2 x 2 2 grado 2
x 3 1 x 2 1 x 2 x 1 x 2 2 x 3 2 grado 3
x 4 1 x 3 1x 2 x 2 1x 2 2 x 1 x 3 2 x 4 2 grado 4
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