Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

1.4.2. Aproximación simultánea de la ecuación diferencial y de las condiciones de
borde
En esta sección se admitirá como función de prueba una aproximación que no satisfaga identicamente
las condiciones de borde, lo que permitirá ampliar el rango de funciones admisibles
M∑
u ≃ û = a m φ m (1.43)
m=1
La expansión (1.43) no satisface alguna o ninguna de las condiciones de borde, por lo que el residuo
en el dominio
R Ω = A(û) = L (û) + p en Ω (1.44)
debe complementarse con un residuo en el borde
R Γ = B(û) = M (û) + r en Γ (1.45)
A fin de reducir los residuos en el dominio y en el borde, se propone el siguiente planteo en residuos
ponderados
∫
∫
__
W l R Ω dΩ + W l R Γ dΓ = 0 (1.46)
Ω
en donde las funciones de peso, W l y __ W l , pueden ser elegidas en forma independiente. Resulta claro
que a medida que aumenta el número de funciones para las cuales se satisface la expresión (1.46),
mejor será la aproximación de û a u, asumiendo que la ec. (1.43) se ha elegido en forma adecuada.
Sustituyendo la aproximación (1.43) en la ec. (1.46) resulta un sistema idéntico a (1.37) en el
que la matriz de coeficientes y el término independiente resultan
∫
∫
__
K lm = W l L (φ m ) dΩ + W l M (φ m ) dΓ
1.4.2.1. Ejemplos
Ω
∫
f l = −
Ω
Γ
Γ
∫
W l p dΩ −
Γ
__
W l r dΓ (1.47)
Ejemplo N ◦ 3: Resolveremos nuevamente el Ejemplo 1 pero en este caso no satisfaceremos las
condiciones de borde con las funciones de prueba:
M∑
û = a m φ m ; φ m = x m−1 m = 1, 2...
0
m=1
El borde Γ son dos puntos (x = 0, x = 1) y la ec.(1.46) queda
∫ 1
[ __ ] [ __ ]
W l R Ω dx + W l R Γ + W l R Γ
Si tomamos W l
x=0
x=1
= 0
= φ l ; W __
l = −φ l | Γ
, la anterior queda
∫ 1
( ) d2û φ l
dx − û dx − [φ 2 l û] x=0
− [φ l (û − 1)] x=1
= 0
0
Con tres términos, û = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 , que conduce a un sistema Ka = f donde
⎡
3
3 − 2 ⎤
⎡ ⎤
2 3
1
K =
3 4 1
2 3 4
; f =
⎢ 1
⎥
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
4 5 8
⎦
1
3 4 15
12