Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

1. Condiciones de borde esenciales, en las que se especifican los valores que adopta la variable de
estado u.
2. Condiciones de borde naturales en las que:
a) se especifica el valor del flujo o
b) se especifica una combinación lineal del flujo y de la variable de estado.
Por último notemos que en el caso de problemas en los cuales se especifiquen condiciones de
borde naturales en ambos extremos, deberá satisfacerse una condición global de conservación que
está dada por
σ 0 + σ L =
∫ L
0
f (x) _dx (3.13)
3.3. Formulación variacional del problema
Resulta claro que el enunciado clásico del problema de contorno (3.1) y (3.2) implica condiciones
sobre la solución que pueden resultar muy difíciles de satisfacer aun para situaciones en las que
los datos resulten razonables. Lo que se pretende con una formulación variacional es obtener un
enunciado propicio para poder aplicar el método de elementos finitos. Es deseable además que
la formulación posea simetría y preferiblemente que las funciones de prueba y de peso posean el
mismo grado de suavidad, es decir, que el orden de derivación, que presenten ambas funciones en
el enunciado del problema, sea el mismo. Reescribamos nuestro problema
− d [
k(x) du(x) ]
+ c(x) du(x) + b(x)u(x) = f(x)
dx dx dx
α 0
du(0)
dx
x ∈ Ω i , i = 1, 2, 3, 4
[
k(x) du(x) ]
= 0 en x = x 1
dx
⎫⎪ ⎬
[
− k(x) du(x) ]
(3.14)
=
dx
ˆf en x = x 2
[
k(x) du(x) ]
= 0 en x = x 3
dx
+ β du(L)
0u(0) = γ 0 , α L
dx + β ⎪
Lu(L) = γ ⎭
L
en donde las condiciones de borde son la expresión general de alguna de las siguientes situaciones
• u (0) = ū 0 ; u (L) = ū L
• k(0) du(0)
dx
= ¯σ 0 ; −k(L) du(L)
dx
= ¯σ L
• k(0) du(0)
dx
= p 0 [u(0) − u ∞ ] ; −k(L) du(L)
dx
= p 0 [u(L) − u ∞ ]
Recordemos que el dominio Ω se ha dividido en cuatro subdominios como se indica en la fig.1.
Como en cada subdominio la función incógnita debe ser suave, podemos construir la función de
error para cada uno de ellos
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R Ωi = − [k u ,x ] ,x
+ c u ,x + b u − f