Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Figura 5 Viga con deformación de corte las deformaciones generalizadas resultan ⎡ ⎣ ⎤ ε χ 3 ⎦ = γ 2 ⎡ ⎣ 0 0 − 4ξ 2ξ+1 ⎤ 0 0 0 0 L L L 2ξ−1 0 0 0 0 − 4ξ 1+2ξ 0 0 ⎦ L L L 2ξ−1 ξ 4ξ 0 (1 − ξ) 0 − ξ 2 2ξ+1 − 1 0 − ξ L 2 L L 2 (1 + ξ) ⎢ ⎣ 2ξ−1 ε = B (ξ) a e Las relaciones constitutivas para este caso son: ⎡ ⎣ N ⎤ ⎡ M 3 ⎦ = ⎣ EA EI Q 2 σ = D ε ⎤ ⎡ ⎦ ⎣ ε ⎤ χ 3 ⎦ GA 2 γ 2 donde A 2 es el área de corte en la dirección 2, definida convenientemente. En el caso de vigas de eje curvo, es necesario una interpolación adecuada de la geometría (en el caso anterior asumíamos que el nudo central estaba ubicado exactamente en el punto medio entre los extremos). Una opción sencilla y conveniente es la interpolación isoparamétrica, luego el eje baricéntrico de la viga queda descripto por x (ξ) = 3∑ N I (ξ) x I I=1 Paralelamente resulta conveniente definir un sistema coordenado local. En la geometría indeformada (libre de tensiones) dicho sistema local tiene el vector t 1 coincidente con la tangente al eje baricéntrico, que forma un ángulo α con el eje x 1 global, en tanto que el vector t 2 es normal al anterior: [ ] cos α − sin α Λ (ξ) = [t 1 , t 2 ] (ξ) = sin α cos α 74 Las deformaciones generalizadas normal y de corte resultan ahora ε = γ 2 = d(x + u) · t 1 ds d(x + u) · t 2 ds ⎡ u 1 1 u 1 2 θ 1 3 u 2 1 u 2 2 θ 2 3 u 3 1 u 3 2 θ 3 3 ⎤ ⎥ ⎦
donde s es la longitud de arco medido sobre el eje baricéntrico de la viga. Debido a que la viga tiene ahora una curvatura inicial, debemos hablar de cambio de curvatura. La curvatura original se mide como κ (0) 3 = dα ds y la curvatura del eje deformado es luego el cambio de curvatura resulta κ 3 = d (α + θ 3) ds χ 3 = κ 3 − κ (0) 3 = d (α + θ 3) − dα ds ds = dθ 3 ds En problemas tridimensionales, la teoría que gobierna el problema es similar. Por supuesto ahora x y u tienen tres componentes. Por otro lado el sistema coordenado local se escribe ahora Λ (s) = [t 1 , t 2 , t 3 ] donde t 1 coincide con la tangente al eje baricéntrico, en tanto que t 2 y t 3 están dirigidos en las direcciones principales de inercia de la sección transversal. Las deformaciones generalizadas asociadas a los esfuerzos normal y de corte se escriben ahora ε = d(x + u) · t 1 ds γ 2 = d(x + u) · t 2 ds γ 3 = d(x + u) · t 3 ds Las curvaturas del eje baricéntrico resultan ahora de la siguiente expresión ⎡ ⎤ K = Λ T dΛ 0 −κ 3 κ 2 ds = ⎣ κ 3 0 −κ 1 ⎦ −κ 2 κ 1 0 donde los κ i serán curvaturas iniciales si Λ es la original o serán las curvaturas del eje deformado si Λ corresponde a la estructura deformada. La diferencia entre ambas permite calcular los cambios de curvatura, que incluye deformación de torsión (χ 1 ) y deformaciones de flexión (χ 2 y χ 3 ). ⎡ ⎣ χ ⎤ 1 χ 2 χ 3 ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ κ 1 − κ (0) 1 κ 2 − κ (0) 2 κ 3 − κ (0) 3 ⎤ ⎥ ⎦ = κ − κ (0) Si mantenemos los giros en cada punto de la viga referidos al sistema local (recordando la relación que los liga con los globales) θ G = Λθ L θ L = Λ T θ G la linealización de la expresión anterior conduce a ⎡ ε = ⎣ ε ⎤ ⎡ ⎤ γ 2 ⎦ = Λ T du t 1 · du ds + e ds 1 × θ L = ⎣ t 2 · du ds − θ ⎦ 3 γ 3 t 3 · du + θ ds 2 ⎡ χ = ⎣ χ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 χ 2 ⎦ = dθ L ds + κ(0) × θ L = ⎣ ⎦ + ⎣ κ ⎤ 2θ 3 − κ 3 θ 2 κ 3 θ 1 − κ 1 θ 3 ⎦ χ 3 κ 1 θ 2 − κ 2 θ 1 de donde pueden particularizarse las expresiones para la viga en el plano obtenidas antes. dθ 1 ds dθ 2 ds dθ 3 ds 75
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