Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Finalmente, los coeficientes de la aproximación se obtienen minimizando el residuo, ∫ L 0 φ i (u − û) dx = 0 (2.11) en donde se ha usado como función de peso las mismas funciones de prueba que las usadas en la aproximación (2.7). Los pasos restantes son idénticos a los ya utilizados en el capítulo anterior. 2.3. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales — condiciones de continuidad Las funciones de aproximación definidas en la sección anterior, pueden ser utilizadas en la solución de ecuaciones diferenciales. Recordemos la forma general de una ecuación diferencial en una dimensión A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (2.12) sujeta a las condiciones de borde B (u) = M (u) + r = 0 en Γ (2.13) de la que podemos obtener una forma discreta a partir del método de residuos ponderados ∫ ∫ __ W i R Ω dΩ + W i R Γ dΓ = 0 (2.14) con Ω Γ R Ω = L (û) + p (2.15) R Γ = M (û) + r (2.16) En la sección anterior se aproximó, una función utilizando funciones discontinuas, y funciones continuas con derivadas discontinuas. La pregunta es: ¿pueden utilizarse estas funciones habida cuenta que la ecuación (2.14) contiene derivadas de las funciones de aproximación? Para contestar esta pregunta, consideremos el caso de tres tipos de funciones de aproximación φ cerca del punto A de unión de dos elementos unidimensionales. La primera función es discontinua en el punto A, mientras que la segunda muestra una discontinuidad en la derivada primera, en el mismo punto, y la tercera una discontinuidad en la derivada segunda. En consecuencia, las funciones ilustradas darán valores infinitos para la primera, segunda, y tercera derivada respectivamente en los puntos donde dicha discontinuidad ocurre. Si vamos a evaluar la integral de residuos ponderados (2.14), es deseable que dichos valores infinitos sean evitados, ya que de otra forma la integral puede quedar indeterminada. Entonces, si aparecen derivadas de orden s en las integrales (2.14) (es decir, que los operadores L o M contienen dichas derivadas), debemos asegurar que las derivadas de orden s − 1 sean continuas en las funciones de prueba φ j utilizadas en la aproximación. En otras palabras, diremos que es necesario que las funciones utilizadas muestren continuidad C s−1 . Por ejemplo, si estamos aproximando una función y no hay operadores diferenciales entonces s = 0 y podremos utilizar las funciones de forma de la Fig.2.a. Si en cambio aparecen derivadas primeras en los operadores L o M, entonces s = 1, y necesitaremos continuidad C 0 como la mostrada en la Fig.2.b. Si aparecen derivadas segundas, entonces s = 2, y será necesaria continuidad C 1 , como se muestra en 2.c. Las condiciones de continuidad impuestas a las funciones de prueba son aplicables también a las funciones de peso W i . Por lo que en el caso de la ec. (2.14), podrán tomarse como válidas funciones de peso discontinuas con discontinuidades finitas. En rigor, hemos utilizado funciones de Dirac cuando definimos la aproximación por colocación. En este caso se ha violado claramente la regla recién enunciada, pero esta excepción es permisible en la medida que la integral del residuo adopte un valor finito. En general, este tipo de funciones de peso especiales no se utiliza y las reglas expuestas son suficientes. 24
Figura 2 Comportamiento de tres funciones de forma y sus derivadas en la unión A de dos elementos unidimensionales 2.4. Cálculos básicos en el método de elementos finitos A fin de poder exponer claramente los aspectos más relevantes del método de elementos finitos, analizaremos un ejemplo sencillo. Sea resolver la siguiente ecuación diferencial, cuya formulación fuerte es encontrar la función u que satisfaga la siguiente ecuación diferencial y condiciones de borde: − d2 u(x) dx 2 + u(x) = f(x) para 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = x, u(0) = 0, u(1) = 0 La minimización del residuo de esta ecuación conduce a la expresión ∫ 1 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (2.17) W i ( − d2 û dx 2 + û − f(x) ) dx = 0 (2.18) 25
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