Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

convergencia respecto a una norma y no respecto a otra; de hecho la noción de convergencia es,
sin dudas, dependiente de la norma adoptada.
Las estimaciones del error que como la (2.53) no requieren información de la solución, se conocen
como estimaciones a priori. En contraposición, las estimaciones que necesitan de la solución para
ser evaluadas, se conocen como estimaciones a posteriori. Para el problema planteado, se puede
demostrar que las estimaciones a priori, para funciones de interpolación lineales, son
‖e‖ E
≤ C 1 h
‖e‖ 0
≤ C 2 h 2
‖e‖ ∞
≤ C 3 h 2 (2.54)
Existen otras medidas del error que pueden ser de interés, como por ejemplo
∣
∣ ∣∣
‖e ,x ‖ ∞
= max ∣e (x) ,x 0 ≤ x ≤ 1
o
‖e ,xx ‖ ∞
, ‖e ,x ‖ 0
o ‖e ,xx ‖ 0
Inclusive, se puede evaluar el error puntualmente calculando |e (ξ)|, donde ξ es un punto del
dominio de la solución. Digamos que muchos elementos presentan puntos de superconvergencia,
en los que se observa altas velocidades de convergencia (y en consecuencia elevada exactitud). De
todos modos, las normas (2.54) son las más útiles cuando se utiliza el MEF.
Volviendo a la expresión (2.53) destaquemos que una ecuación de la forma
E (h) = C h p
es una recta cuando se grafica en coordenadas log-log esto es
log E = p log h + log C
de donde si graficamos log ‖e‖ versus logh obtendremos la velocidad de convergencia para la norma
‖ ˙_‖ ya que ésta coincide con la pendiente de la recta. En la Fig.6 se muestra el comportamiento
del error energético y medio cuadrático para el ejemplo considerado.
Ejercicio N ◦ 25: Calcular la solución exacta y la solución con dos, cuatro y seis elementos para
el problema de contorno definido por
−u ,xx = 1 − x 2 ; 0 ≤ x ≤ 1
u (0) = 0 ; u (1) = 0
a) Calcular las normas del error ‖e‖ E
y ‖e‖ 0
para cada malla y graficar log ‖e‖ vs log h. Indique
las velocidades de convergencia para cada norma.
b) Calcule el error puntual en x = 1/8 para cada malla. Cual es la velocidad de convergencia en
ese punto?
c) Idem para el punto de coordenada x = 1/2. Que encuentra de particular en este punto?
Nota: este resultado no es habitual y no tipifica a las aproximaciones por EF.
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