Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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4.6.1. Matriz de rigidez de una viga recta en 2-D Si nos restringimos al caso plano y una viga de eje recto. Usando una aproximación cuadrática (3 nudos), con el nudo interno en el centro del elemento, la matriz de rigidez en coordenadas locales resulta de la integral ∫ K L = L B T (ξ) D B (ξ) ds = ∫ 1 −1 L 2 BT (ξ) D B (ξ) dξ ∫ 1 −1 ⎡ ⎢ ⎣ EA 2L ( ) N 1 2 EA ′ ξ ( N 1 GA c 2L Simétrica 2L N 1 ′ ξ N 2 ′ ξ 2 GA c ′ ξ) N 1 2( ′ ξ N 1 GAc N 1 3L ′ ξ N 2 ′ ξ EI 2L N 1 2 ′ ξ) + GA c L ) EA 2 2L GA c ( 2L N 2 EI (N 1 ) 2 2 ( N 2 ′ ξ GA c 2 N 1 ′ ξ N 2 N 1 2L ′ ξ N 2 ′ ξ + GA cL 2 N 1 N 2 2 GA c ′ ξ) N 2 2( ′ ξ N 2 EI 2L N 2 2 ′ ξ) + GA c L (N 2 ) 2 2 EA 2L N 1 ′ ξ N 3 ′ ξ EA 2L N 2 ′ ξ N 3 ′ ξ EA 2L ( ) N 3 2 ′ ξ GA c 2L GA s 2L N 1 ′ ξ N 3 ′ ξ GA c 2L N 2 ′ ξ N 3 ′ ξ ( ) N 3 2 ′ ξ EI ⎤ GA c 2 N 1 ′ ξ N 3 EI N 1 2L ′ ξ N 3 ′ ξ + GA c L N 1 N 3 2 GA c N 2 2 ′ ξ N 3 EI 2L N 2 ′ ξ N 3 ′ ξ + GA cLN 2 N 3 2 ( 2L N 3 2 ⎥ ′ ξ) + ⎦ GA cL (N 3 ) 2 2 dξ Notar que todos los términos a integrar son polinomios en ξ, luego se pueden integrar en forma analítica sin problemas. Notar además el orden de los polinomios a integrar: de 2do orden para productos de derivadas entre si de 3er orden para producto de función y derivada de 4to orden para productos de funciones entre sí Recordar que si se integra numéricamente con dos puntos de integración se puede integrar exactamente un polinomio cúbico. De lo cual surge que si se integra con dos puntos de integración se integrará en forma exacta todos los términos salvo los asociados a productos de funciones nodales entre sí (términos que relacionan las rotaciones entre sí, asociados al corte transversal) . Por ejemplo la integral exacta de (N 1 ) 2 es 4 15 e integrando con dos puntos es 2 , lo que es un 20 % 9 menos que la integral exacta. 76
θ (x) = [ N 1 (ξ) θ 1 + N 2 (ξ) θ 2] 77 Por otro lado, experimentos numéricos primero y desarrollos teóricos posteriores mostraron que era conveniente una sub-integración de los términos asociados al corte a los fines de evitar el bloqueo numérico. El bloqueo numérico se produce debido a una imposibilidad de las funciones de forma de representar correctamente el comportamiento de todas las variables con el consiguiente aumento de la rigidez asociado a un incremento espurio de la energía de deformación asociada al corte transversal. Usando integración numérica con dos puntos de integración se tiene ⎡ ⎢ ⎣ EA 14 2L 3 GA c 2L 14 3 ( ) EA 2L − 16 3 GA (−1) c 2 3L GA c EI 14 2L 3 + GA cL 2 2 9 EA 32 2L 3 GA c 2L ( ) − 16 3 32 3 ( ) − 4 ) + GA c 2( 3 EI 2L − 16 3 GA cL 2 2 9 GA c 2 (0) EI 32 + 2L 3 GA cL 8 2 9 EA 2L EA 2L ( 2 3) ( ) − 16 3 EA 14 2L 3 GA s 2L GA c 2L GA c 2L ( 2 3) ( ) − 16 3 14 3 GA c 2( EI 2 2L 3 GA cL 2 GA c 2 EI 2L ( 1 ) 3) ( + ) − 1 9 ( ) − 4 ( ) 3 − 16 + GA cL 2 3 2 9 EI 14 + 2L 3 GA cL 2 2 9 ⎤ ⎥ ⎦ Notar que la solución exacta de las ecuaciones homogéneas de la viga de Timoshenko, requiere una aproximación cúbica para el desplazamiento y cuadrática para el corte, por lo que el elemento desarrollado no resuelve exactamente los problemas, por lo cual, si el objetivo es obtener la solución exacta, es necesario usar más de un elemento finito por tramo de viga (a diferencia de la teoría clásica). Una segunda posibilidad es utilizar una interpolación cúbica para el desplazamiento transversal (por ejemplo utilizando cuatro nudos para el desplazamiento y sólo 3 para el giro). Por otro lado dado que los nudos internos no se comparten con otros elementos, es posible previo al ensamble eliminar dichos grados de libertad usando “condensación”, con lo cual sólo permanecen como grados de libertad los de los nudos extremos, en tal caso la matriz de rigidez resulta de 4 × 4 (viga continua) y coincide con la matriz de rigidez (incluyendo deformaciones por corte) obtenida en los cursos de cálculo matricial de estructuras. 4.6.2. Ejercicio: Calcular la matriz de rigidez de un elemento de viga de dos nudos (sólo flexión, sin axial) utilizando un único punto de integración v (x) = [ N 1 (ξ) u 1 + N 2 (ξ) u 2]
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