Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...
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2.2. Aproximación mediante funciones <strong>de</strong> forma <strong>de</strong> soporte compacto<br />
En la Fig.1 se muestra la aproximación <strong>de</strong> una función arbitraria en un dominio unidimensional<br />
Ω = [0, L]. La división <strong>de</strong> Ω en E elementos (E = M − 1) se realiza eligiendo puntos x i<br />
(x i = 1, 2, ...M ) en Ω, con x 1 = 0 y x M = L y <strong>de</strong>finiendo el elemento Ω e como el intervalo<br />
x e ≤ x ≤ x e+1 .<br />
En la Fig.1.a se muestra como pue<strong>de</strong> aproximarse una función u utilizando el método <strong>de</strong><br />
colocación mediante el cual se construye la aproximación û que toma valores constantes en cada<br />
elemento. La función obtenida no es continua en los puntos <strong>de</strong> conexión <strong>de</strong> los elementos<br />
(x i ; i = 2, ...M − 1). Se han elegido como puntos <strong>de</strong> colocación los puntos medios <strong>de</strong> cada elemento;<br />
estos puntos reciben el nombre <strong>de</strong> nudos o nodos. En el método <strong>de</strong> elementos finitos se<br />
numeran los elementos y los nudos. En este caso la numeración es bastante obvia numerándose<br />
como nudo j el correspondiente al elemento j. La función û pue<strong>de</strong> escribirse en forma estándar<br />
como<br />
u ≃ û = ψ +<br />
que particularizada al presente caso resulta en<br />
u ≃ û =<br />
M−1<br />
∑<br />
j=1<br />
M−1<br />
∑<br />
j=1<br />
a j φ j en Ω (2.4)<br />
û j φ j en Ω (2.5)<br />
en la que se ha omitido la función ψ.; φ j representa una función <strong>de</strong> forma global discontinua<br />
<strong>de</strong>finida para tomar el valor 1 sobre el elemento j y cero sobre los otros elementos; y û j es el valor<br />
que toma la función u en el nodo j. Des<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista elemental, la aproximación resulta<br />
u ≃ û = û e N e = û e en el elemento e (2.6)<br />
La aproximación û no coincidirá en los extremos <strong>de</strong>l dominio (x = 0, x = L) con los valores que<br />
toma la función original u en los mismos, sin embargo, estos valores pue<strong>de</strong>n aproximarse tanto<br />
como se quiera reduciendo la longitud <strong>de</strong> los elementos para x = 0 y x = L.<br />
En la Fig.1.b se ha utilizado la misma subdivisión <strong>de</strong>l dominio pero se mejoró la discretización<br />
adoptando una variación lineal en cada elemento. En este caso los nudos se <strong>de</strong>finen coinci<strong>de</strong>ntes<br />
con los extremos <strong>de</strong>l elemento y se asocia una función <strong>de</strong> forma global φ i a cada nudo i con la<br />
propiedad <strong>de</strong> que φ i es no nula en los elementos conectados por este nudo, vale 1 sobre el nudo i<br />
y cero en los otros nudos. Entonces, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto <strong>de</strong> vista global se pue<strong>de</strong> escribir<br />
con<br />
φ j<br />
⎧⎪ ⎨<br />
⎪ ⎩<br />
u ≃ û =<br />
M∑<br />
û j φ j en Ω (2.7)<br />
j=1<br />
x − x j−1<br />
h j<br />
para x j−1 ≤ x ≤ x j<br />
x j+1 − x<br />
h j+1<br />
para x j ≤ x ≤ x j+1<br />
0 para x ≤ x j−1 y x ≥ x j+1<br />
(2.8)<br />
en la que û j es valor que toma u en el nodo j. En consecuencia, la aproximación (2.7) automáticamente<br />
coinci<strong>de</strong> en los extremos <strong>de</strong> Ω con los valores <strong>de</strong> u y no es necesario utilizar una función<br />
ψ. Si la aproximación se consi<strong>de</strong>ra <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el elemento entonces<br />
u ≃ û = u i N e i + u jN e j en el elemento e (2.9)<br />
en la que u i y u j son los valores <strong>de</strong> u en los nodos i y j y N e i y N e j las funciones <strong>de</strong> interpolación<br />
lineales <strong>de</strong>finidas como:<br />
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