Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

2.4.1. Propiedades de la matriz K y del vector F
Examinemos algunas de las propiedades de la matriz K y del vector F.
a) Aditividad de la matriz K: esta es una de las propiedades más importantes en el método
de elementos finitos. Esta propiedad se deriva de la propiedad que poseen las integrales respecto a
su dominio, es decir
K ij =
∫ 1
0
(
φi,x φ j,x + φ i φ j
)
dx =
=
∫ h
0
∫
( ) 2h
( )
φi,x φ j,x + φ i φ j dx + φi,x φ j,x + φ i φ j dx+
(2.28)
∫ 3h
∫
( ) 1
( )
+ φi,x φ j,x + φ i φ j dx + φi,x φ j,x + φ i φ j dx =
2h 3h
= ∑ ∫
4 ( ) ∑ 4
φi,x φ j,x + φ i φ j dx =
e=1
Ω
e=1 Ke ij
e
∫
en la que denota integración sobre el elemento Ω e . Pero en el interior del elemento (ver ecs.2.8
Ω e
y 2.10) se satisfacen las igualdades φ i = N i y φ j = N j . Entonces, podemos escribir
∫
∫
Kij e = ( )
φi,x φ j,x + φ i φ j dx = (N i,x N j,x + N i N j ) dx (2.29)
Ω e Ω e
representa las componentes de la matriz de “rigidez” elemental para el elemento Ω e , y en
consecuencia
4∑
K ij = Kij e (2.30)
En forma análoga,
F i =
4∑
e=1
F e
i ,
e=1
h
∫
F i e = f(x) N i dx (2.31)
Ω e
en donde Fi
e son las componentes del vector de “cargas” para el elemento Ω e y N i son las funciones
elementales definidas en (2.10). Debido a esta propiedad, es posible generar K y F calculando
solamente las matrices K e y F e para un elemento típico Ω e y sumar luego las contribuciones según
las ec.(2.30) y (2.31). Este procedimiento se conoce como ensamble y será elaborado más adelante.
b) La matriz K es bandeada: para el ejemplo planteado, y las funciones de interpolación de
la fig. 4 resulta que φ i y φ j ≠ 0 cuando i = j o cuando i ≠ j con la condición de que los elementos
compartan un nudo. Lo mismo sucede con las derivadas, por lo que cuando i, j no satisfacen las
condiciones anteriores resulta K ij = 0, lo que origina una matriz que presentará elementos no nulos
en y próximos a la diagonal, zona esta que se conoce como banda de la matriz. Fuera de la banda
los elementos son nulos. En general, el ancho de banda depende de la numeración de los nodos
por lo debe prestarse especial atención a este aspecto.
c) Simetría de K: Intercambiando los índices i, j en las expresiones integrales que definen
la matriz de rigidez (2.29) , se obtiene el mismo resultado por lo que K ij = K ji , es decir que la
matriz de rigidez es simétrica.
Las propiedades descriptas anteriormente son importantes a la hora definir la estrategia de
cálculo y programación del método.
2.4.2. Descripción global y local del elemento.
Retomemos el problema de calcular la contribución de cada elemento a: la matriz de rigidez K
global del sistema (2.30) y al vector de cargas F (2.31).
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