Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Suponiendo una interpolación para las velocidades y aceleraciones del eje baricéntrico, similar
a los desplazamientos. La velocidad (y la aceleración) de un punto del eje de la viga es (referido
al sistema local):
⎡
⎣
⎤
˙u 1
˙u 2
⎦ =
˙u 3
de donde resulta
⎡
⎡
⎤
N 1 N 2
⎣ φ 1 ϕ 1 φ 2 ϕ 2 ⎦
⎢
φ 1 0 −ϕ 1 φ 2 0 −ϕ 2 ⎣
= Φ (ξ) ȧ e L
M =
∫ L
0
ρA Φ T Φ dx 1 = ρAL
2
∫ 1
Que permite escribir la energía cinética de la viga como
⎡
T = 1 2
−1
[
˙u 1 ˙θ 1 ˙u 2 ˙θ 2] L
M
⎤
˙u 1
˙θ 1
˙u 2 ⎥
⎦
˙θ 2
Φ T (ξ) Φ (ξ) dξ (4.4)
⎢
⎣
⎤
˙u 1
˙θ 1
˙u 2 ⎥
⎦
˙θ 2
4.5.9. Ejercicios
1. Calcular los coeficientes de la matriz de rigidez de la viga espacial en coordenadas locales.
2. Calcular la matriz de masa (expresión 4.4 ) para una viga continua en 2-D.
3. Calcular el vector independiente para un carga lineal arbitraria (expresión 4.3)
4.6. Elementos con deformación de corte
Los elementos con deformación de corte son aquellos basados en la teoría de vigas de Timoshenko
y sus extensiones a problemas en 3-D. Además de poder considerar modelos flexibles al
corte su mayor ventaja radica en la facilidad de su extensión al rango no-lineal y en el tratamiento
de geometrías curvas. Tienen la ventaja también de ser de continuidad C 0 , aunque esto no es
importante en vigas en el campo lineal.
Si consideramos el comportamiento de una viga en el plano x 1 -x 2 (con eje baricéntrico en
correspondencia con el eje x 1 ) las relaciones cinemáticas son:
γ 2 = du 2
dx 1
− θ 3
χ 3 = dθ 3
dx 1
ε = du 1
dx 1
Supongamos un elemento de 3 nudos (1 en cada extremo y un nudo central). En cada nudo
nuestras incógnitas serán los desplazamientos en las dos direcciones del plano (u 1 , u 2 ) más el giro
alrededor del eje normal al plano (θ 3 ). La aproximación resulta entonces cuadrática para las tres
variables. Recordando entonces que
L
L
N 1 = ξ 2 (ξ − 1) N 2 = 1 − ξ 2 N 3 = ξ (1 + ξ)
2
N 1
′ x 1
= 2ξ − 1 N 2
L
′ x 1
= − 4ξ N 3
L
′ x 1
= 2ξ + 1
L
73