Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

∫
v
∫
σ ij δε ij dv =
v
δε T σ dv =
∑NE
e=1
δu T e
∫
v e
B T D B dv u e
donde NE es el número de elementos en que se ha dividido el dominio. La integral indicada en
el último miembro es una matriz simétrica (lo que surge de que D es simétrica), se la denomina
matriz de rigidez elemental y se la denota por:
∫
K e = B T D B dv
v e
El trabajo virtual interno del sólido a partir de la suma de las contribuciones elementales resulta
∫
v
δε T σ dv =
∑NE
e=1
δu T e K e u e = δu T G K u G
donde u G es un vector donde se han ordenado los desplazamientos de todos los nudos y K es
la matriz de rigidez global del sólido, la cual se obtiene mediante un proceso de ensamble de las
matrices elementales.
6.7.3. Trabajo virtual externo, vector de cargas nodales
La contribuciones al trabajo virtual externo (fuerzas másicas y de contorno) resultan:
6.7.3.1. Fuerzas másicas
∫
v
F δu dv =
∑NE
e=1
∫
v e
F δu dv
Supongamos para las fuerzas másicas una variación dentro del elemento similar a la de los
desplazamientos (normalmente las fuerzas másicas son uniformes, constantes, de valor igual al
peso específico del material y con la dirección del campo gravitatorio), esto es:
F =
NN∑
I=1
φ I F I = Φ F e
en forma desarrollada
F =
⎡
⎤
φ 1 φ 2 φ NN
⎣ φ 1 φ 2 ... ... ... φ NN ⎦
φ 1 φ 2 φ NN } {{ }
⎢
⎣
Φ
⎡
F 1 1
F 1 2
F 1 3
...
...
F NN
1
F2
NN
F NN
3
⎤
⎥
⎦
} {{ }
F e
donde las Fi
I es el valor de la fuerza másica por unidad de volumen en la dirección i evaluada en
las coordenadas del nudo I. De esta forma el trabajo virtual de las fuerzas másica resulta
∫
∫
v e
F δu dv = δu T e
donde hemos introducido la matriz M = ∫ v e
Φ T
v e
Φ T Φ dv F e = δu T e M F e = δu T e G e
Φ dv
119