Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

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Cuando f (x) está formada por la suma de varios términos, la solución particular de la suma es las soluciones particulares correspondientes a cada uno de estos términos Siempre que un término en cualquiera de las soluciones particulares enumeradas esté contenida también en la solución de la homogénea, hay que multiplicar todos los términos de esa solución particular por la menor potencia entera positiva de x que permita eliminar la duplicación. 20
Capítulo 2 El método de elementos finitos Funciones de prueba por tramos por A. Brewer 2.1. Introducción El método de Galerkin es una poderosa herramienta para proponer soluciones aproximadas a problemas de contorno, pero presenta una seria limitación: el método no establece un procedimiento sistemático para la construcción de las funciones de prueba φ j necesarias para determinar la forma de las aproximaciones û. Salvo los requerimientos de independencia, continuidad y derivabilidad, estas funciones son arbitrarias por lo que el analista debe enfrentar el problema de elegir entre distintas posibilidades alguna de las cuales pueden resultar no tan claras. Lo que si está claro es que la calidad de la solución dependerá fuertemente de las propiedades de las funciones elegidas. La situación empeora en problemas de dos (2D) y tres dimensiones (3D) en los que las φ j deben diseñarse para satisfacer las condiciones de borde en contornos que pueden presentar geometrías complicadas. Por otro lado, una mala elección de las funciones φ j puede producir matrices K mal condicionadas que hagan dificil o imposible la solución del problema Ku = f dentro de los límites de la precisión esperada. La alternativa es dividir el dominio Ω en subdominios o elementos Ω e no superpuestos y entonces construir una aproximación û por tramos sobre cada subdominio; e inclusive, se pueden utilizar distintas expresiones en cada uno de los subdominios en que se ha particionado Ω. En este caso, las integrales definidas sobre todo el dominio pueden obtenerse como la suma de las contribuciones de cada uno de los elementos asumiendo, claro está, que ∫ ∫ Ω Γ W i R Ω _dΩ = __ W i R Γ _dΓ = E∑ Ω e = Ω, e=1 E∑ ∫ e=1 E∑ e=1 Ω e W i R Ω _dΩ (2.1) ∫Γ e __ W i R Γ _dΓ (2.2) E∑ Γ e = Γ (2.3) En estas expresiones E representa el número de subdivisiones de la región Ω y Γ e la parte del contorno de Ω e que se solapa con Γ. De esta manera, pueden modelarse dominios cuyos contornos sean más o menos complicados. La definición de funciones de prueba por tramos puede significar la aparición de discontinuidades en la función o sus derivadas. Algún grado de discontinuidad puede ser admitido, pero esto condicionará el tipo de formulación utilizada. Por último notemos que si la evaluación de las integrales en las ec.(2.1) y (2.2) se realiza sobre los subdominios resultará muy ventajoso definir las funciones de forma utilizando un soporte compacto de tal modo que su valor sea nulo en todas partes a excepción del elemento en cuestión y de los adyacentes al mismo. e=1 21
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