Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

en tanto que las velocidades (conocidas) pueden escribirse
u (x) =
3∑
L I u I
I=1
donde
φ I : son las incógnitas nodales
L I : son las coordenadas triangulares (ξ, η, ζ)
u I : son las velocidades en los nudos (conocidas), que satisfacen ∇u = 0
Para cada elemento finito triangular hay que calcular las 3 contribuciones correspondientes a las
celdas de volumen finito asociadas a cada nudo del triángulo. Estas contribuciones corresponden
a las interfaces internas indicadas como 1, 2 y 3 en la Figura 2
Figura 2
Interfaces internas de cada triángulo
A su vez cada una de esas contribuciones se sumará o restará en cada nudo según la definición
que se utilice de la normal a la interfaz.
Denominando con x I al par coordenado de cada nudo y orientando los lados del triángulo en
sentido antihorario
l 1 = x 3 − x 2 l 2 = x 1 − x 3 l 3 = x 2 − x 1
y llamando a I y b I a las proyecciones del lado I según las direcciones coordenadas
a I = l I · t 1 b I = l I · t 2
a 1 = x 3 1 − x2 1 b 1 = x 3 2 − x2 2
a 2 = x 1 1 − x 3 1 b 2 = x 1 2 − x 3 2
a 3 = x 2 1 − x 1 1 b 3 = x 2 2 − x 1 2
En base a las definiciones anteriores es fácil demostrar que el duplo del área del triángulo vale
2A = a 1 b 2 − a 2 b 1
y además que para un punto genérico de coordenadas (x 1 , x 2 ) las funciones de forma valen
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L 1 = 1 [
−b 1 x 1 + a 1 x 2 + b 1 x 2 1
2A
− ] a1 x 2 2 = ξ (x1 , x 2 )
L 2 = 1
2A
L 2 = 1
2A
[
−b 2 x 1 + a 2 x 2 + b 2 x 3 1 − ] a2 x 3 2 = η (x1 , x 2 )
[ −b 3 x 1 + a 3 x 2 + b 3 x 1 1 − ] a3 x 1 2 = ζ (x1 , x 2 )