Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La solución de los sistemas conduce a los siguientes resultados
a 1 a 2
Colocación −0,05312 0,004754
Galerkin −0,05857 0,007864
Ejemplo N ◦ 2: La aplicación de los métodos de residuos ponderados a problemas en dos dimensiones
será ejemplificada resolviendo un problema de torsión definido por la ecuación
∇ 2 ϕ = ∂2 ϕ
∂x + ∂2 ϕ
= −2αG con ϕ = 0 en Γ
2 ∂y2 donde ϕ(x, y) es una función de tensión que permite encontrar las componentes de los esfuerzos
de corte en la sección mediante las siguientes expresiones
σ yz = − ∂ϕ
∂x ,
σ xz = ∂ϕ
∂y
α es el giro por unidad de longitud α = dθ/dz.
G es el módulo de elasticidad transversal.
Obtenida la solución, se puede determinar el valor del momento torsor T aplicado resolviendo
la integral
∫
T = 2 ϕ (x, y) dx dy (1.39)
Adoptemos como valor αG = 1 y como dominio, la región rectangular −3 ≤ x ≤ 3 y −2 ≤ y ≤
2. La solución es simétrica respecto de los ejes x = 0 e y = 0, por lo que restringiremos la elección
a las funciones de prueba pares que satisfacen esta condición:
( πx
)
φ 1 = cos
6
( 3πx
φ 2 = cos
6
)
cos
)
cos
( πy
4
( πy
)
4
( πx
) ( ) 3πy
φ 3 = cos cos
6 4
con estas funciones, la aproximación ˆϕ = Σa m φ m , m = 1, 2, 3, automaticamente satisface las
condiciones de borde requeridas. Nuevamente, el problema puede escribirse en la forma (1.28)
haciendo L (ϕ) = ∂2 ϕ
∂x + ∂2 ϕ
, y p = 2. Una vez elegidas las funciones de forma, se pueden
2 ∂y 2
aplicar directamente las ecuaciones (1.38) para obtener un sistema de tres ecuaciones con las tres
incógnitas a i . Si utilizamos el método de Galerkin, resultan las siguientes componentes para los
elementos de la matriz K y el vector f
∫ 3 ∫ 2
( )
∂ 2 φ
K lm = − φ m
l
−3 −2 ∂x + ∂2 φ m
dy dx
2 ∂y 2
f l =
∫ 3 ∫ 2
−3
−2
2 φ l dy dx (1.40)
Debido a la ortogonalidad de las funciones de prueba, el sistema de ecuaciones resulta diagonal y
la solución es inmediata
a 1 = 4608
13π 4 a 2 = − 4608
135π 4 a 3 = − 4608
255π 4 9