Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

modo de ubicar un nodo en todo punto en donde se produzca una discontinuidad en los datos. Los
términos tales como ˆfW (x 2 ) que representan un salto, nunca entrarán en la descripción local que
caracteriza la aproximación elemental. Estos términos aparecerán cuando se sume la contribución
de cada uno de los elementos.
Para cada subdominio elemental Ω e de extremos s e 1 y s e 2 se puede formular el siguiente enunciado
variacional
∫s e 2
s e 1
(
kW
e
,x u e ,x + cW e u e ,x + bW e u e) dx =
∫s e 2
s e 1
W e ¯fdx + σ (s
e
1 ) W (s e 1 ) − σ (se 2 ) W (se 2 ) (3.31)
en el que σ (s e 1 ) y σ (se 2 ) representan los valores verdaderos del flujo (y no aproximaciones) en los
extremos del elemento. Las cantidades σ (s e i ) representan las condiciones de borde naturales del
elemento Ω e . Este enunciado se hace independientemente de las condiciones de borde reales en
x = 0 y x = L. Recordemos que aunque estamos planteando el problema en el dominio elemental,
los cálculos los realizaremos en el dominio mapeado como ya se viera anteriormente. Proponemos
como función de aproximación elemental
y para la función de peso
∑N e
u e (x) = u e j N j e (x) (3.32)
j=1
∑N e
W e (x) = wi e N i e (x) (3.33)
i=1
en las que N e es la cantidad de nodos que tiene el elemento (dos si las funciones de interpolación
son lineales, tres si son cuadráticas, etc.). Por otro lado, u e (x j ) = u e j y W e (x i ) = w e i . Finalmente,
reemplazando (3.32) y (3.33) en (3.31) resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales
con
∑N e
j=1
k e ij u e j = f e i + σ (s e 1) N e i (s e 1) − σ (s e 2) N e i (s e 2) , i = 1, 2, ..., N e (3.34)
∫s e 2
kij e =
( kN
e
i,x Nj,x e + cN i e Nj,x e + bN )
i e Nj
e dx (3.35)
s e 1
f e i =
∫s e 2
¯f(x) N e i dx i, j = 1, 2, ..., N e (3.36)
s e 1
en donde kij e son los elementos de la matriz de rigidez elemental y fi
e las componentes del vector
de cargas del elemento Ω e . En la práctica, las integrales (3.35) y (3.36) raramente se evalúan en
forma cerrada, siendo en cambio común el uso de reglas de integración numéricas suficientemente
exactas. Además, también es corriente la utilización de una interpolación para definir la función
¯f(x) en el elemento
N e
fh e = ∑
¯f(x e j )N j e (x) (3.37)
por lo que la ec. (3.36) se calcula como
f e i =
∫s e 2
s e 1
[ N
e
∑
j=1
j=1
¯f(x e j)N e j (x)
De esta forma, la carga se define mediante su valor en los puntos nodales.
50
]
N e i (x) dx (3.38)