Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

2. Las condiciones de borde no pueden construirse en forma arbitraria, sino que deben ser compatibles
con la ecuación diferencial que gobierna el problema. En este sentido la formulación variacional
posee la ventaja de que cualquier condición de borde que pueda incorporarse naturalmente al problema,
como consecuencia de la integración por partes, será automaticamente compatible con la
ecuación diferencial.
3. Recordemos que las condiciones de borde entran en la definición del problema variacional
(3.18) en dos formas: las condiciones de borde esenciales, que son la especificación del valor de la
solución, entran en el problema a partir de la definición del espacio admisible de las funciones del
problema, mientras que las condiciones naturales, que conllevan la especificación de las derivadas
de la solución, determinan la forma de la ecuación variacional.
Ejemplos:
i)
−u(x), xx +u(x) = f(x)
0 < x < L
u(0) = 0, u(L) = 0
ii)
−u(x), xx +u(x) = f(x)
0 < x < L
u(0), x = γ 0 ,
Los enunciados variacionales de estos problemas son
u(L), x = γ L
V-i) Encontrar u en H0 1
tal que
(es decir que u satisface las condiciones (3.19) y además u(0) = u(L) = 0)
L∫
L∫
(W ,x u ,x + W u) dx = W fdx, ∀ W ∈ H0
1
0
0
V-ii) Encontrar u ∈ H 1 tal que
L∫
(W ,x u ,x + W u) dx =
L∫
W fdx − γ 0 W (0) + γ L W (L), ∀ W ∈ H 1
0
0
Estos ejemplos muestran que las condiciones esenciales se introducen en V-i) a partir de la definición
de la clase de funciones admisibles para proponer las funciones de prueba y las naturales como
datos en el segundo miembro de la ecuación en V-ii).
4. Por último, en analogía con la energía U definida anteriormente, podemos escribir la norma
energética para el problema (3.18) (con b(x) > 0)
[∫ L
‖e‖ E
=
También puede utilizarse la norma H 1 equivalente
0
[∫ L
‖e‖ 1
=
0
(
k e
2
,x + b e 2) ] 1/2
dx
(3.20)
(
e
2
,x + e 2) ] 1/2
dx
(3.21)
Ejercicio N ◦ 26: Construir la forma débil indicando en cada caso el espacio de funciones de prueba
admisibles.
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