Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

de donde las segunda contribución a la matriz de rigidez resulta
δu T K G ∆u = ( δu 1T , δu 2T ) N
L
{[
1 − t t
T
−1 + t t T
−1 + t t T 1 − t t T ]} [
∆u
1
∆u 2 ]
(4.42)
A la suma de las matrices 1 − t t T se la denomina matriz de proyección ortogonal, pues el
producto de esta matriz por un vector v cualquiera conduce a la proyección del vector v sobre
el plano normal a t. Esto puede verse como quitarle a v su componente en la dirección t. La
operación de quitarle a un vector v su proyección v t sobre t, se hace habitualmente como
v t = t · v = t T v
v n = v − t v t = v − t ( t T v ) = v − tt T v = ( 1 − tt T ) v
La aparición de esta matriz se debe a que en 4.40 se está derivando un versor (vector unitario)
y la dirección de esta derivada debe ser normal al versor, lo cual puede verse fácilmente a partir
de que
∂ (t · t)
∂u
t · t = 1
= 2 t · ∂t
∂u = 0
4.8.1. Ejemplo
Supongamos que la sección del cable es A = 1cm 2 y el módulo de elasticidad es E = 2 ×
10 6 kg/cm 2 . El cable sometido al siguiente estado de cargas
⎡
f =
⎢
⎣
p 2 1
p 2 2
p 3 1
p 3 2
p 4 1
p 4 2
⎤
⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0
−100
0
−150
0
−100
está en equilibrio para los siguientes desplazamientos:
⎡ ⎤ ⎡
u 2 1 −0,073927
u 2 2
−0,12672
u =
u 3 1
⎢ u 3 =
0,00000
2 ⎥ ⎢ 0,061802
⎣ u 4 ⎦ ⎣
1 0,073927
u 4 2 −0,12672
⎤
[N]
⎥
⎦
⎤
[m]
⎥
⎦
Si al sistema de cargas previos se le agregan en el punto central las siguientes
[ ] [ ]
p
3
∆ 1 100
p 3 = [N]
2 −100
Las matrices tangentes elementales son
⎡
K 1−2 =
K 2−3 =
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1,2260 −0,8295 −1,2260 0,8295
0,5616 0,8295 −0,5616
1,2260 −0,8295
0,5616
1,6489 −0,4781 −1,6489 0,4781
0,1389 0,4781 −0,1389
1,6489 −0,4781
0,1389
⎤
⎥
⎦ × 106
⎤
⎥
⎦ × 106 87