Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

que en forma desarrollada podemos escribir
[
u1
] [
φ
1
=
u 2
]
φ 2 φ 3 φ 4
φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 ⎢
⎣
⎡
u 1 1
u 1 2
u 2 1
u 2 2
u 3 1
u 3 2
u 4 1
u 4 2
⎤
= Φ u e
⎥
⎦
En un estado plano de tensión o deformación las deformaciones que interesan son:
⎡
ε = ⎣
⎤ ⎡
ε 11
ε 22
⎦ = ⎣
2ε 12
∂u 1
∂x 1
∂u 2
∂x 2
∂u 1
∂x 2
+ ∂u 2
∂x 1
⎤
⎦
Notemos que
∂ ( )
= ∂ ( ) ∂ξ
+ ∂ ( ) ∂η
∂x 1 ∂ξ ∂x 1 ∂η ∂x 1
luego [ ]
∂( )
∂x 1
∂( )
∂x 2
En consecuencia si queremos calcular
[ ∂( )
= J −1 ∂ξ
∂( )
∂η
]
∂u i
∂x j
=
4∑
I=1
∂φ I
∂x j
u I i
para lo cual necesitamos las ∂φI
∂x j
[
∂φ
I
]
∂x 1
∂φ I
∂x 2
que podemos calcular mediante la regla de la cadena
[ ]
∂φ I
[ ]
]
= J −1 ∂ξ
φ
I
′ 1
≡
∂φ I
∂η
φ I′ 2
= J −1 [ φ
I
′ ξ
φ I′ η
6.8.2. Cálculo de la matriz de rigidez elemental
Reemplazando la anteúltima expresión en las deformaciones, estas se pueden escribir
ε =
⎡
⎣ ε ⎤
11
ε 22
⎦ =
2ε 12
⎡
⎣
φ 1′ 1 φ 2′ 1 φ 3′ 1 φ 4′ 1
φ 1′ 2 φ 2′ 2 φ 3′ 2 φ 4′ 2
φ 1′ 2 φ 1′ 1 φ 2′ 2 φ 2′ 1 φ 3′ 2 φ 3′ 1 φ 4′ 2 φ 4′ 1
} {{ }
B(ξ,η)
⎤
⎦u e = B u e
En un Estado de Tensión Plana las ecuaciones constitutivas lineales para un material elástico
e isótropo son:
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
σ 11
σ = ⎣ σ 22
⎦ =
E 1 ν ε 11
⎣ ν 1 ⎦ ⎣ ε 22
⎦ = D ε
1 + ν
σ 12 2ε 12
Siguiendo el procedimiento descripto anteriormenete la matriz de rigidez elemental se obtiene
como la integral
∫
K e = B T (ξ, η) D B (ξ, η) dv
122
v
1−v
2