Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

⎡
σ =
⎢
⎣
⎤
σ 11
σ 22
σ 33
σ 12
⎥
σ 23
⎦
σ 31
La relación que liga tensiones con deformaciones está definida por el tensor de elasticidad D, esta
relación cuando se expresa en términos de los tensores de 2do orden expresados como arreglos de
una dimensión conduce a la siguiente expresión:
⎡
σ =
⎢
⎣
⎤
σ 11
σ 22
σ 33
σ 12
⎥
σ 23
⎦
σ 31
= E
1 + ν
⎡
⎢
⎣
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
σ = D B u
1
2
1
2
1
2
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎤
ε 11
ε 22
ε 33
2ε 12
⎥
2ε 23
⎦
2ε 13
= Dε
Dado que tratamos con deformaciones lineales, las deformaciones virtuales pueden escribirse
de la misma forma que las reales
⎡ ⎤
δε 11
δε 22
δε =
δε 33
⎢ 2δε 12
= B δu (5.13)
⎥
⎣ 2δε 23
⎦
2δε 13
Notar que en la expresión del trabajo virtual interno (primer término de la expresión 5.11)
podemos escribir en lugar del producto interno de tensores de 2do. orden σ :δε ≡ σ·δε = σε,
donde en el primer miembro de la equivalencia estamos considerando tensores y en el segundo
miembro la notación vectorial. El segundo miembro de esta igualdad indica la forma estándar de
expresar un producto interno de dos vectores columnas como una multiplicación de matrices. Si
reemplazamos (5.12 y 5.13) este producto interno puede escribirse finalmente:
σ T δε = u T B T D B δu
5.9.5. Elasticidad Plana
Listamos a continuación las principales ecuaciones de la elasticidad plana, en la notación previa,
correspondientes a los estados:
5.9.5.1. Estado plano de tensión (σ i3 = 0):
100
σ =
⎡
ε = ⎣
⎡
⎣ σ ⎤
11
σ 22
σ 12
⎦ =
⎤
ε 11
ε 22
⎦ =
2ε 12
⎡
E ⎣ 1
1 − ν 2
⎡
⎤
∂
0
∂x 1 ∂
[ ]
u1
0
⎢ ∂x
⎣
2 ⎥ u 2
∂ ∂ ⎦
∂x 2 ∂x 1
ν
⎤ ⎡
ν 1
⎦ ⎣ ε ⎤
11
ε 22
⎦
1
2 (1 − ν) 2ε 12