Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

5.6.5. Forma débil de la ecuación de alabeo
Aplicando residuos ponderados sobre la expresión 5.2, con v la función de ponderación
∫ { ∂
v
A ∂x [G xz (−βy + w′ x)] + ∂ }
∂y [G yz (βx + w′ y)] dA = 0
∫ [ ∂
v
∂x (Gxzw′ x) + ∂ ] [
∂y (Gyzw′ y) + vβ − ∂
∂x (G xzy) + ∂ ]
∂y (G yzx) dA = 0
A
Notar que el segundo término es necesario sólo cuando el material no es homogéneo, es decir
cuando hay una variación de la matriz constitutiva del material. Esta formulación permite entonces
tratar el alabeo de secciones compuestas de distintos materiales. Notar además que el segundo
término incluye sólo valores conocidos, por lo cual podríamos separar en dos miembros la ecuación,
de tal forma que el segundo miembro es nulo para materiales homogéneos
∫
A
v
[ ∂
∂x (G xzw′ x) + ∂ ∂y (G yzw′ y)
] ∫
dA =
A
vβ
[ ∂
∂x (G xzy) − ∂ ∂y (G yzx)
]
dA
Integrando por partes ambos miembros
∫ [ ∂
v
A ∂x (Gxzw′ x) + ∂ ] ∫
∫
∂y (Gyzw′ y) dA = v [G xz w′ xν x + G yz w′ yν y ] ds − [G xz w′ xv′ x + G yz w′ yv′ y] dA
S
A
∫ [ ∂
vβ
∂x (G xzy) − ∂ ] ∫
∫
∂y (G yzx) dA = vβ [G xz yν x − G yz xν y ] ds − β [G xz yv′ x − G yz xv′ y] dA
A
S
Reemplazando en la expresión anterior y notando que los términos en el contorno se anulan
entre si (ver ecuación 5.5)
∫
∫
v {G xz w′ xν x + G yz w′ yν y − β [G xz yν x − G yz xν y ]} ds = vτ ν ds = 0
resulta
∫
S
∫
[G xz w′ xv′ x + G yz w′ yv′ y] dA =
A
[ ] [ ]
Gxz w′ x
[v′ x, v′ y]
dA
A
G yz y
=
∫
∫
A
A
β [G xz yv′ x − G yz xv′ y] dA
[ ] [
Gxz y
β [v′ x, v′ y]
G yz −x
s
A
]
dA
Notar que para la solución del problema es necesario fijar en algún punto el valor de w, además
habitualmente se resuelve el problema para un valor unitario de β. En secciones simétricas es
suficiente con discretizar una de las porciones simétricas, en este caso deben imponerse condiciones
de contorno sobre w (esenciales), w = 0 en las líneas de simetría.
La formulación presentada hasta aquí sigue los lineamientos del método de los desplazamientos
(o método de rigidez) consistente en resolver las ecuaciones de equilibrio del problema expresadas
en función de las incógnitas de desplazamiento. Una vez obtenida la solución del problema la determinación
de deformaciones y tensiones es directa. A continuación veremos una solución alternativa,
consistente en resolver ecuaciones de compatibilidad, lo que se asocia habitualmente con el método
de las fuerzas, contraparte de esta formulación
5.6.6. Función de tensión
La formulación más renombrada para el análisis del problema de alabeo está asociada a la
solución de una ecuación de compatibilidad. Esto es así porque, como veremos, para materiales
isótropos y homogéneos , resulta como ecuación de gobierno la ecuación de Laplace con condiciones
de contorno sólo esenciales y homogéneas (secciones simplemente conexas). Esto permite hacer
analogías con otros problemas mecánicos, como por ejemplo la membrana traccionada que se
describió antes (“analogía de la membrana” debida a Prandtl).
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