Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

o directamente las coordenadas nodales actualizadas
x I i = X I i + u I i (4.17)
donde X I i es la coordenada original del nudo I en la dirección i y x I i es la coordenada actual del
nudo I en la dirección i.
Para saber si la configuración actualizada corresponde al equilibrio utilizamos el Principio de
Trabajos Virtuales, el cual puede escribirse
∑NB
K=1
T V I = T V E
N K δε K L K 0 =
∑NP
2∑
p N i δu N i (4.18)
N=1 i=1
donde N K , δε K , y L K 0 son respectivamente el esfuerzo axial, la deformación virtual y la longitud
inicial de la tramo K, en tanto que NB es el número de tramos en que se ha dividido al cable.
En el segundo miembro aparece el trabajo virtual de las fuerzas externas y NP es el número de
nudos donde se aplican cargas.
Consideremos un tramo cualquiera de cable, por ejemplo el 1-2, y evaluemos el trabajo virtual
interno que allí se produce. Para ello tenemos que evaluar:
La longitud actual:
L = [( x 2 − x 1) · (x 2 − x 1)] 1 2
(4.19)
= [( X 2 − X 1 + u 2 − u 1) · (X 2 − X 1 + u 2 − u 1)] 1 2
La deformación longitudinal
ε = L L 0
− 1 (4.20)
El esfuerzo axial
La deformación virtual
∂L
∂(u 2 − u 1 )
N = EAε (4.21)
δε = ∂ε
∂u δu = 1 ( ∂L
L 0 ∂u 2 δu2 + ∂L )
∂u 1 δu1 = 1 ∂L
L 0 ∂(u 2 − u 1 )
(
x 2 − x 1) = t (dirección actual del tramo)
(
δu 2 − δu 1)
= 1 L
δε = 1 1 (
x 2 − x 1) · (δu 2 − δu 1) = 1 t · (δu 2 − δu 1) (4.22)
L 0 L
L 0
En consecuencia la contribución de una barra al trabajo virtual interno resulta
T V I = N 1 L 0
t · (δu 2 − δu 1) L 0 = ( δu 2 − δu 1) · t N (4.23)
En el ejemplo considerado las contribuciones de las tres barras resultan (notar que δu 1 = δu 5 =
0, pues u 1 = u 5 = 0)
T V I = ( δu 2) · t 1 N 1 + ( δu 3 − δu 2) · t 2 N 2 + ( δu 4 − δu 3) · t 3 N 3 − δu 4 · t 4 N 4 (4.24)
sacando factor los δu I , la expresión anterior puede escribirse (notar que δu · t = δu T t )
⎡
T V I = [ δu 2T , δu 3T , δu ] 4T ⎣ N ⎤
1 t 1 − N 2 t 2
N 2 t 2 − N 3 t 3
⎦ (4.25)
N 3 t 3 − N 4 t 4
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