Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La sustitución de la aproximación (1.54) en la ec. (1.61) conduce al ya conocido sistema
en el que
∫
K lm =
∫
+
Ω
Ka = f (1.62)
( ∂Wl
∂x k ∂φ m
∂x + ∂W l
∂y k ∂φ )
m
∂y
dx dy+
W l p φ m dΓ ; l, m = 1, 2, ...M
Γ c
∫
∫ ( ∂Wl
f l = W l F dx dy −
Ω
Ω ∂x k ∂ψ
∂x + ∂W l
∂y k ∂ψ )
dx dy−
∂y
∫
_
− W l σdΓ − W l p (ψ − u ∞ ) dΓ ; l = 1, 2, ...M (1.63)
∫Γ σ Γ c
Es posible elegir como funciones las correspondientes a Galerkin W l = φ l ya que las condiciones
(1.60) impuestas a las funciones de peso de anularse sobre Γ u ya son satisfechas por las φ l utilizadas
en la expansión (1.54). Se observa que esta alternativa produce una matriz K que resulta simétrica
ya que
K lm = K ml (1.64)
En conclusión, se ha mostrado cómo la condición de borde (1.52) es una condición natural para
este problema ya que la formulación débil pudo eliminar la necesidad de evaluar la derivada en
el contorno. Por otro lado si σ _ = 0, entonces esta condición no aparece en forma explícita en la
formulación.
Ejemplo N ◦ 6: un material de conductividad k = 1 ocupa una región cuadrada definida en
−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Los lados y = ±1 se mantienen a temperatura de 0 ◦ , mientras se
suministra calor en la relación cos(πy/2) por unidad de longitud en los lados x = ±1. Se pide
resolver la ecuación de calor estacionario
sujeta a las condiciones de borde
∂
∂x
(
k ∂u
∂x
)
+ ∂ (
∂y
k ∂u
∂y
)
+ F = 0
u = 0 ( en Γ u definido por y = ±1
πy
)
¯σ = − cos en Γ σ definido por x = ±1
2
Si adoptamos como funciones para aproximar la temperatura a
φ 1 = 1 − y 2 ; φ 2 = x 2 φ 1 ; φ 3 = y 2 φ 1
φ 4 = x 2 y 2 φ 1 ; φ 5 = x 4 φ 1 ; ψ = 0
con lo cual û = Σa m φ m satisface las condiciones de borde esenciales. Si adoptamos a W l = φ l ,
entonces W l también satisface la condición necesaria para utilizar la formulación anterior. Las
componentes de la matriz K y el vector f resultan
K lm =
∫ 1
∫ 1
−1
−1
( ∂φl ∂φ m
∂x ∂x + ∂φ l
∂y
)
∂φ m
∂y
dx dy ; l, m = 1, 2, ..,5
∫ 1 ( πy
)
f l = 2 φ l | x=1
cos
−1
2
dy ; l = 1, 2, ..,5
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